Математика

 
Основные этапы развития
 
В традиционном китайском обществе всегда имелась официально санкционированная потребность производить астрономические и календарные вычисления, измерять площади полей, объемы зерна, емкости сосудов и проч. Это привело к развитию математики (суань шу – букв. «правила счета», шу-сюэ – «учение о счете»), которая носила в Китае в значительной степени практический характер вплоть до знакомства китайцев с европейской математикой, произошедшего в начале XVII в. усилиями миссионеров-иезуитов. Параллельно прагматической математической традиции в Китае, начиная с Западного Чжоу, развивалась арифмология (шу шу), связанная с ицзинистикой (см. «Чжоу и»)  и «учением о символах и числах» (сяншучжи-сюэ).
 
По древнекитайским легендам, основам счета китайцев научил Фу-си/Бао-си, первый правитель Поднебесной (прав. в 2852–2737 гг. до н.э.), который «начал вязать узелки на веревках» и «изобрел восемь триграмм (гуа [2])». Затем император Хуан-ди (прав. в 2698–2598 гг. до н.э.) приказал своему министру Ли Шоу разработать учение о «вычислениях» (шу [1]). Еще имеется предание, что в XI в. до н.э. Чжоу-гун, младший брат У-вана, основателя династии Чжоу, ввел в оборот систему «девяти вычислений» (цзю шу), которой должны были учиться дети сановников. Согласно «Ли цзи» («Записки о ритуале/благопристойности») и другим древним сочинениям, в эпоху Западного Чжоу китайцами использовались наборы примеров умножения, подобные современной таблице умножения. Однако, в отличие от вавилонской практики располагать примеры умножения в столбцах, китайцы с древних времен записывали их списками, которые назывались по первой паре сомножителей цзю цзю (букв. «девять на девять/девятью девять/9 девяток»). Среди самых ранних текстов, в которых имеются такие списки, можно назвать фрагменты IV в. до н.э., которые помещены в книгу «Гуань-цзы» («[Книга] Учителя Гуаня»). Самым древним из дошедших до нас списков с примерами умножения является записанный на бамбуковых дощечках, которые были найдены на севере провинции Ганьсу, в городе-оазисе Цзюйянь, расположенном на краю пустыни Гоби. Они сохранились, будучи захороненными в песках, и датируются приблизительно 100 г. до н.э. Еще один из подобных списков был обнаружен в пещерах Дуньхуана, находящихся на западе провинции Ганьсу, и датируется эпохой Тан (618–907). Он также записан иероглифами на бамбуковых планках и имеет экономную структуру, лишенную повторов: в его четырех строках по порядку представлены результаты умножения на множители от 9 до 2 нисходящих рядов множимых, начинающихся с числа, аналогичного множителю.
 
Во времена Конфуция  математика считалась одним из «шести искусств» (лю и), которым должен владеть «благородный муж» (цзюнь-цзы). Согласно «Лунь юю» («Суждения и беседы»), сам Конфуций высоко ценил математические знания и даже не желал брать в ученики тех, «кто не может по одному углу [квадрата] судить о трех остальных» (VII, 8).
 
В IV в. до н.э. в моистской школе (мо-цзя) были предприняты попытки разработать систему геометрических определений, но это не оказало особого влияния на развитие китайской математики. Может быть, по этой причине в Китае так и не возникла геометрия, подобная греческой, в которой использовались аксиомы, теоремы и доказательства. Традиционная китайская геометрия всегда была в достаточной степени алгебраичной, а математика в целом – алгоритмичной.
 
В 124 г. до н.э. император Хань У-ди  основал «Высшее училище» (тай сюэ), предназначенное для подготовки молодых людей к экзаменам на государственную службу. Среди преподаваемых дисциплин была и математика. Училище действовало в течение всей последующей истории императорского Китая. При этом власти практически всегда так или иначе поддерживали государственное образование и традиционную экзаменационную систему, где роль математики в разные времена была различной.
 
Самым ранним китайским сочинением, отражающим математическую проблематику, является «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского гномона», рус. пер. 1-й цз. 1-й ч.: Яо Фан, 2003). Первые надежные даты, связанные с ним, относятся к I в. до н.э. Однако, судя по форме и содержанию, его нельзя считать ханьским. Скорее всего, этот текст был написан в эпоху Сражающихся царств (Чжань го). В первой его части, математической, приводится разговор Чжоу-гуна с сановником Шан Гао. Вторая часть посвящена астрономии и астрономическим вычислениям, представляя собой изложение беседы ученого Чэнь-цзы и его ученика Жун Фана, которые, возможно, жили в VI в. до н.э. С математической точки зрения данная книга интересна тем, что в ней впервые в китайской литературе упоминается теорема Пифагора. Кроме того в ней используются дроби и обсуждаются методы их умножения, деления и нахождения общих знаменателей. Процедура извлечения квадратных корней не дается, но по тексту этой книги ясно, что квадратные корни уже использовались во время ее создания.
 
В эпоху Ранней Хань было создано чисто математическое сочинение «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах»), известное в русском переводе как «Математика в девяти книгах» (рус. пер.: Э.И. Березкина, 1957). Данная книга демонстрирует намного более продвинутое состояние математического знания, чем «Чжоу би суань цзин». По всей видимости, в ней было собрано и систематизировано математическое наследие предшествующих периодов. Считается, что первый этап этой работы был выполнен видным ханьским деятелем Чжан Цаном (ум. в 152 г. до н.э.), занимавшим пост первого министра при императоре Гао-цзу (прав. в 206–195 гг. до н.э.). Вторая редакция данного сочинения была осуществлена Гэн Шоу-чаном, министром при императоре Сюань-ди (прав. в 73–49 гг. до н.э.).
 
«Цзю чжан суань шу» состоит из 246 задач, для которых дается числовой ответ и правило (шу [2]) решения. В этих задачах рассматриваются геодезия, строительство, справедливое распределение налогообложения и многое другое, в чем требуется применять математику. Эта книга является своеобразной математической энциклопедией для землемеров, инженеров, чиновников различных ведомств и т.д. В ней приводятся правила обращения с дробями, извлечения квадратных и кубических корней, применения арифметических и геометрических числовых прогрессий, решения систем уравнений, вычисления площади различных фигур и объема различных тел и проч.
 
«Цзю чжан суань шу» сыграла важную роль в развитии математики в Китае. Она является наиболее влиятельной из всех китайских математических книг. Многие китайские математики ссылались на нее, писали к ней свои комментарии, добавляя объяснения и предлагая новые алгоритмы решений задач. Наиболее важный из сохранившихся комментариев приписывается математику Лю Хую (ок. 220–280), жившему в государстве Вэй и в 263 г. отредактировавшему «Цзю чжан суань шу». В том виде, который этому сочинению придал Лю Хуй, оно вошло в собрание «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона» – «Математическое десятикнижие»), составление которого было начато в VI в. Чжэнь Луанем, продолжено в VII в. Ли Чунь-фэном (602–670) и закончено в XI в.
 
Кроме «Чжоу би суань цзин» и «Цзю чжан суань шу» в эпоху Хань имелось много других математических трактатов, от которых, как считалось до недавнего времени, сохранились только названия. Однако в 1984 г. в одном из чжанцзяшаньских могильников, находящихся в окрестности г. Цзянлин (пров. Хубэй), была найдена книга «Суань шу шу» («Книга о счете и вычислениях»), составленная не позднее 186 г. до н.э. и имеющая много схожего с «Цзю чжан суань шу», что указывает, скорее всего, на наличие общего источника.
 
В эпоху Хань математика достигла относительного расцвета и выделилась в самостоятельную дисциплину. В императорском Китае социальная роль математики определялась бюрократической правительственной системой. В официальной математике ставились задачи, которые должны были решать должностные лица. Чиновники (ши [13]) и ремесленники (гун [5], цзян [4]) были совершенно разделенными группами. Каковы были математические знания, применявшиеся ремесленниками в их работе, трудно узнать, поскольку книг они не писали, а сохранившиеся плоды их труда не являются показательными с математической точки зрения.
 
В период от III до VII в. в Китае появилось около десятка математических книг, которые приобрели известность. Среди них – «Хай дао суань цзин» («Счетный канон морского острова»/«Математический трактат о морском острове», рус. пер.: Э.И. Березкина, 1974), написанный в III в. Лю Хуем и являющийся специальным сочинением по практической геометрии. Он состоит из девяти задач на определение размеров и расстояния до недоступного объекта с использованием прямоугольного треугольника и его свойств. Все задачи снабжены правилами решения и ответами. Сам Лю Хуй оформил это сочинение как 10-й, т.е. дополнительный, раздел (чжан [1]) «Цзю чжан суань шу» под названием «Чун ча» («Двойная разность»). Данный раздел стоял после раздела «Гоу гу» («Меньший и больший катеты»), который также содержал задачи с использованием прямоугольного треугольника и его свойств. Однако задачи Лю Хуя более сложные, чем в «Гоу гу», поскольку вычисления в них проводятся не по одному, а по нескольким наблюдениям. Выделение этого раздела в виде отдельного сочинения, «канона» (цзин [1]), было сделано в VII в. Ли Чунь-фэном при редактировании сборника, из которого затем был составлен «Суань цзин ши шу».
 
В комментариях к «Цзю чжан суань шу» Лю Хуй вычисляет площадь круга и объем цилиндра, конуса и пирамиды с помощью инфинитезимальных методов. В отличие от предыдущих китайских авторов, которым была свойственна догматическая подача математического материала, Лю Хуй делает первые шаги в область теории, которые проявляются в виде объяснений алгоритмических правил, даваемых им при комментировании «Цзю чжан суань шу». Еще дальше пошел его современник, Чжао Цзюнь-цин (Чжао Шуан), который в комментариях к «Чжоу би суань цзину» осуществил первое в истории китайской математики письменное доказательство теоремы Пифагора.
 
Правда, на долгое время эти две фигуры стали, пожалуй, исключением в традиционной китайской математике, которая не стремилась выйти на теоретический уровень. Большинство авторов этого периода шло в русле, заданном «Цзю чжан суань шу». Примером является анонимная книга IV в. «У цао суань цзин» («Счетный канон пяти ведомств»/«Математический трактат пяти ведомств», рус. пер.: Э.И. Березкина, 1969), вошедшая в «Суань цзин ши шу». Уже из названия видно, что она была написана с целью обучения чиновников решать такие задачи, с которыми они могут встретиться при работе в одном из существовавших в то время пяти ведомств (земельное, военное, торговое, амбарное и финансовое). Такая чисто практическая направленность обусловила то, что для понимания текста было достаточно самых элементарных математических знаний. Важным вкладом в традиционную китайскую математику является книга «Сунь-цзы суань цзин» («Счетный канон Сунь-цзы»/«Математический трактат Сунь-цзы», рус. пер.: Э.И. Березкина, 1963), приписываемая математику III–V вв. Сунь-цзы [2], о котором, практически, ничего не известно. В этой, простой по стилю, книге представлены правила работы со счетной доской, изложен способ решения в целых числах неопределенных уравнений 1-й степени, приводятся сведения о геометрической прогрессии и содержатся метрологические таблицы, сыгравшие важную роль в развитии учения о десятичных дробях.
 
Еще одна значительная книга этого периода – «Чжуй шу» («Правила исправлений»), написанная Цзу Чун-чжи (429–501), возможно, в соавторстве со своим сыном, Цзу Гэном (ок. 450 – ок. 520). Она была посвящена, главным образом, точному вычислению числа «пи» (до седьмого знака). После редактирования Ли Чунь-фэном в 656 г. «Чжуй шу» вошла в сборник книг для подготовки к императорским экзаменам. Она имела хорошую репутацию у китайских ученых и, как предполагалось, из-за своей трудности требовала гораздо большего времени для изучения, чем любая из других математических книг того времени. Поэтому позже она была изъята из программы. Это объясняет, почему она не вошла в сборник «Суань цзин ши шу», изданный в 1084 г., и к XIX в. была потеряна.
 
Цзу Гэн известен тем, что предложил более точный способ вычисления объема сферы, а одна из примененных им теорем более чем через тысячу лет, в 1635 г., была доказана итальянским математиком Бонавентурой Кавальери (1598–1647) и получила название «принцип Кавальери».
 
Среди ученых, которые внесли значительный вклад в развитие математики в этот период, следует еще отметить Чжан Цю-цзяня (ок. 430–490), написавшего между 468 и 486 г. книгу «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня»/«Математический трактат Чжан Цю-цзяня», рус. пер.: Э.И. Березкина, 1969), в которой впервые в Китае формулируется правило суммы арифметической прогрессии и показывается способ решения истинных неопределенных уравнений («задача о сотне птиц» – бай цзи ти). Кроме того, он усовершенствовал правила оперирования с дробями и матричный метод решений систем линейных уравнений.
 
В VII в. математика вышла на новый этап развития, отвечая практическим потребностям инженеров, архитекторов и землемеров. В 625 г. астроном, математик и государственный служащий Ван Сяо-тун (ок. 580–640) создал трактат «Ци гу суань шу» («Следующие древности правила счета»), который при введении в состав «Суань цзин ши шу» переименовали в «Ци гу суань цзин» («Следующий древности счетный канон»/«Математический трактат о продолжении древних [методов]», рус. пер.: Березкина, 1975) и от которого сохранилась небольшая часть, содержащая 20 задач. Ван Сяо-тун знаменит тем, что первым среди китайских математиков предложил методы решений уравнений третьей степени и биквадратных уравнений (типа: x⁴ + n²x² = m²). В кубических уравнениях, он использует специальные названия для коэффициентов (цзун фа – при x³, лянь фа – при x², фан фа – при x) и свободного члена (ши [2]). Рассматривая всего два биквадратных уравнения, он называет коэффициент при четвертой степени также цзун фа. Ван Сяо-тун решает задачи, в которых, например, требовалось с помощью уравнений третьей степени найти объем конуса, трапецоида и обелиска, т.е. неправильной усеченной пирамиды с прямоугольным основанием. Расчет такой пирамиды приводился уже в «Цзю чжан суань шу» (в разделе «Шан гун» – «Оценка работ») и подразумевал разбиение ее на составные части. Ван Сяо-тун не идет этим путем и решает задачу чисто алгебраически, хотя его терминология частично остается геометрической. Еще в его книге имеется шесть задач с прямоугольным треугольником, у которого известны алгебраические соотношения между искомыми сторонами.
 
В VII в. работал Ли Чунь-фэн, являющийся самым великим комментатором математических книг во всей китайской истории и известный как разработчик нескольких астрономических приборов и календаря Линь-дэ, который был принят в 665 г. Под его руководством группой математиков в 656 г. было завершено формирование и комментирование сборника, служившего учебным руководством при подготовке к государственным экзаменам на присвоение чиновничьего звания. Таким образом он получил широкое распространение, а некоторое количество чиновников официально было обучено математике. Так, при императоре Тан Тай-цзуне (прав. 627–649) насчитывалось 3260 дипломированных математиков. Однако вплоть до XI в. в Китае не было совершено никаких крупных достижений в области математики.
 
В начале эпохи Тан получила дальнейшее развитие общая система образования. В стране было организовано множество начальных школ и разных специализированных училищ, среди которых имелись и математические. В Высшем училище было образовано шесть подразделений, одно из которых также специализировалось на математике. Однако в 736 г. право рекомендовать выдержавших экзамены на посты чиновников было закреплено за ведомством обрядов, а со временем и сами экзамены стали проводиться под руководством ведомства обрядов. Это привело к возрастанию его роли в правительстве и к изменению характера экзаменов. От экзаменующегося уже не требовалось хорошего знания математики. Как и встарь, более всего ценилось знание классических конфуцианских сочинений, а также поэзии, политики и истории.
 
В середине XI в. правительство стало вновь уделять много внимания математическому образованию. В провинциальных столицах появились специальные учебные центры, в которых преподавались как математика, так и астрономия, медицина, военное дело и проч. В XI в. в Китае впервые стали печататься математические книги. Среди них, например, была написанная в III в. книга Лю Хуя «Хай дао суань цзин» («Счетный канон морского острова»). В 1084 г. был отредактирован и издан сборник «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона»), в который вошли все книги из составленного Ли Чунь-фэном сборника, за исключением двух: уже упомянутой «Чжуй шу» («Правила исправлений») и «Сань дэн шу» («Три числовые степени»), написанной Дун Цюанем не позднее первой половины VII в.
 
Наиболее крупный ученый XI в. – это Шэнь Ко (1031–1095). Его кисти принадлежит изданный в 1086 г. труд «Мэнси би тань» («Записки из Мэнси»), который посвящен не только математике, а почти всем наукам того времени. В математической части этого труда уделено внимание многим областям алгебры и геометрии. Служебная необходимость решать проблемы геодезии привела Шэнь Ко к геометрии. В частности, он занимался нахождением длины дуги по предложенному им самим методу, который послужил основанием сферической тригонометрии, развитой затем Го Шоу-цзином (1231–1316). В «Мэнси би тань» Шэнь Ко рассмотрел также приемы накопления «очень маленьких вещей», под которыми, видимо, имел в виду нечто подобное предложенному в 1635 г. Бонавентурой Кавальери суммированию бесконечного числа неделимых или бесконечно малых.
 
Самые большие открытия традиционной китайской математики были сделаны в эпоху Южной Сун, главным образом, в XIII в. В этот период работали такие известные китайские ученые, как чиновники Цинь Цзю-шао (1202–1261) и Ян Хуй (ок. 1238–1298), странствующий учитель Чжу Ши-цзе (ок. 1260–1320) и отшельник Ли Е (1192–1279). Два первых из них проживали на юге страны, а два последних – на севере. Вероятно, они не только не были связанны между собой личными связями, но и не знали ничего друг о друге. Ими были исследованы методы решений систем уравнений высших степеней, приемы построения прогрессий, магических квадратов, треугольника Паскаля и др. После этого в Китае не было написано ни одной важной работы по традиционной математике.
 
Имеется различие в социальном статусе между математиками эпох Тан и Сун. В Тан они были высокопоставленными чиновниками, как, например, Ли Чунь-фэн, а в Сун – мелкими служащими, выходцами из народа или, как, например, Чжу Ши-цзе, странствующими учителями. Поэтому не удивительно, что внимание сунцев было в большей степени направлено на практические проблемы народного быта и производства. Однако, несмотря на практический уклон, в их сочинениях были введены некоторые новые математические представления.
 
Например, в трактате «Шу шу цзю чжан» («Трактат о вычислениях в девяти разделах»), написанном Цинь Цзю-шао в 1247 г. и посвященном в основном финансовым делам, расчетам конструкций дамб, распределения воды для ирригации, вычислениям площадей и объемов, проблемам определения из отдаленного пункта диаметра и окружности городской стены и проч., есть задачи на системы сравнений первой степени с одним неизвестным, для которых дается общее правило решения. Именно здесь известное ицзинистское выражение тянь юань (букв. «небесная изначальность», «небесный элемент») стало впервые использоваться в качестве обозначения остатков (равных 1 в первой из задач), которые помещались в левом столбце таблицы юань шу («изначальные числа») и ставились в соответствие модулям, находящимся в правом столбце. Кроме того, Цинь Цзю-шао использовал в своем сочинении символ нуля и, как и все алгебраисты Сун и Юань после него, записывал уравнения со свободным членом так, чтобы последний был всегда отрицательным, что, по сути, было эквивалентно появившемуся в Европе только в начале XVII в. правилу приравнивания уравнения нулю.
 
Книга Ли Е «Цэ юань хай цзин» («Морское зеркало измерений круга»), написанная в 1248 г., посвящена, главным образом, решениям уравнений, касающихся кругов, вписанных в треугольники. В ней Ли Е использовал полностью алгебраические методы, также как и в другой своей книге, «И гу янь дуань» («Новые шаги в вычислении»), которая была написана в 1259 г. В обоих произведениях Ли Е использовал термин тянь юань для обозначения неизвестного в уравнениях высших степеней.
 
Ян Хуй стоит немного в стороне от Ли Е, как и от остальных ученых данной группы, занимаясь рядами, арифметическими прогрессиями и «правилом смесей», которое применялось при решении задач на смешивание тех или иных субстанций (напр. зерна) различного качества или неодинаковой ценности. Ему принадлежат две книги – «Сян цзе Цзю чжан суань фа цзуань лэй» («Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах” с их переклассификацией») (более короткое название – «Сян цзе Цзю чжан суань фа» – «Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах”»), и «Сюй гу чжай ци суань фа» («Преемственное древности раскрытие редких методов счета»), написанные соответственно в 1261 и 1275 г. Ян Хуй был большим знатоком десятичных дробей и использовал для них метрологические обозначения в отрыве от их реальных значений, что можно считать эквивалентным использованию десятичной запятой. Ян Хуй высказывал неудовлетворенность эмпирическими методами, на которых была основана геодезия. Он критиковал математиков, которые «изменяют названия своих методов от задачи к задаче», но поскольку при этом они не дают никакого определенного объяснения, нет возможности говорить об их теоретическом основании. Этот подход близок к современному. Ян Хуй дал доказательство, касающееся параллелограммов, которое подобно доказательству Евклида. Если бы такие доказательства повторялись, то китайские ученые могли бы развить собственную дедуктивную геометрию. Ясно, что уже в XIII в. некоторые из них, подобно Ян Хую, были подготовлены, чтобы оценить систему Евклида. Возможно, в это время уже имелся перевод на китайский язык «Элементов» Евклида, которые могли попасть в Китай от арабов.
 
Работы Чжу Ши-цзе стали апогеем развития китайской алгебры. Первая из его книг, «Суань сюэ ци мэн» («Введение в учение о счете»/«Разъяснение темных мест в математике», рус. пер. фрагментов: В.К. Жаров, 2000, 2002), изданная в 1299 г., представляет собой, по сути, введение в алгебру. В ней даются правила использования символов при алгебраическом сложении и умножении. Однако главные открытия Чжу Ши-цзе сделал в другой своей книге, «Сы юань юй цзянь» («Драгоценное зеркало четырех элементов»), написанной в 1303 г. Данная работа открывается диаграммой, которая позже стала известной на Западе как «треугольник Паскаля». Чжу Шицзе называет ее «диаграммой старого метода обнаружения восьмых и более низких степеней», из чего следует, что до него некоторое время она уже была в ходу. Он также описывает процедуру решения систем уравнений с «четырьмя элементами» (сы юань), предполагающую введение добавочных неизвестных и последующее их исключение в процессе решения уравнений. Эта процедура является, по сути, идентичной методу английского математика Джеймса Сильвестра (1814–1897), за исключением того, что Чжу Ши-цзе не использовал технику определителей.
 
Если в эпоху Тан астроном и математик И-син (683–727), рассчитывая новый календарь Да-янь (введен в 728 г.), был вынужден применять более развитые математические методы, чем его предшественники, то при династии Юань такая же потребность привела известного математика и астронома Го Шоу-цзина (1231–1316) к новым математическим разработкам, о которых, поскольку ни одно из его собственных сочинений не сохранилось, можно судить только по другим источникам. Работая над улучшением календаря, Го Шоу-цзин должен был рассматривать располагающиеся на «небесной сфере» пересечения небесного экватора и видимых траекторий Луны и Солнца. Это привело его к изучению геометрических фигур на сферической поверхности. В результате Го Шоу-цзин заложил, можно сказать, основы сферической тригонометрии в Китае, хотя при подобном высказывании следует учитывать, что он, вероятно, не знал основных тригонометрических функций типа синуса, косинуса и проч. Таким образом, его сферическая тригонометрия существенно отличалась от той, что известна в настоящее время.
 
Го Шоу-цзин также применял уравнения четвертой степени и метод, изобретенный первоначально Ли Чунь-фэном в эпоху Тан и эквивалентный западному «методу конечных разностей». Этот метод позволял вполне удовлетворительно вычислять скорость видимого движения Солнца. В эпоху Юань мусульмане (прежде всего, персы и народы Средней Азии) внесли определенную лепту в китайскую науку и технику, также как в эпоху Тан – индийцы. Нельзя исключать в истории китайской математики возможность арабских и персидских влияний, шедших от обсерваторий в Мараге и Самарканде. Однако неизвестно, была ли эта возможность реализована сколько-нибудь значимым образом. В частности, неясно, был ли и до какой степени Го Шоу-цзин под влиянием персидских астрономов, которые уже имели полностью развитую тригонометрию на плоскости и с которыми он, вероятно, встречался при императорском дворе. Возможно, работа Шэнь Ко (XI в.) о дугах и хордах дала ему все, в чем он нуждался.
 
В течение полутора веков от начала династии Мин в китайской математике не произошло ничего интересного, но после 1500 г. положение несколько изменилось. Тан Шунь-чжи (1507–1560), военный инженер и математик, отличился своей работой по измерению круга. Его современник Гу Ин-сян, губернатор Юйнани, систематизировал развитые ранее алгоритмы, предназначенные для расчета дуг и круговых сегментов. Но эти математики, однако, не были знатоками алгебры поздней Сун и Юань, которая полностью вышла из употребления. Даже Чэн Да-вэй (1533–1606), наиболее примечательный из математиков эпохи Мин, не использовал ее. Его труд «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета»), написанный в 1593 г., был прежде всего практическим трактатом, посвященным определению площадей специфической формы и смешиванию сплавов, а также содержал значительное число магических квадратов. В данной книге вперые приводится рисунок китайского абака с инструкциями по его применению.
 
С прибытием иезуитов в начале XVII в. в Пекин наступил конечный период традиционной математики Китая. Иезуиты быстро осознали, что проповедь религиозных идей успешнее в соединении с передачей достижений европейской науки. Началась эра переводов на китайский язык западных научных работ. Так, главой иезуитской миссии Маттео Риччи и принявшим христианство китайцем Сюй Гуан-ци (1562–1633) были переведены шесть первых книг «Элементов» Евклида, которые были изданы в 1607 г. под названием «Цзи хэ юань бэнь» («Элементы геометрии», букв. «Источник и корень [ответов на вопросы] “сколько” и “как”»). В этом же году они опубликовали сочинение по практической тригонометрии «Цэ лян фа и» («Принципы методов измерений и отмериваний»). В 1614 г. был издан трактат Маттео Риччи и Ли Чжи-цзао, посвященный изложению европейской арифметики и названный «Тун вэнь суань чжи» («Значение универсального исчисления», «Идеи универсального исчисления», «Унифицированный язык счета индексов»). Несколько позднее иезуиты представили китайцам европейскую алгебру. Изучение западных работ вызвало у китайских ученых взрыв энтузиазма и стимулировало их к восстановлению собственной математической традиции. После опубликования Мэй Гу-чэном (1681–1763) книги «Чи шуй и чжэнь» («Жемчуг, извлеченный из Красной Реки»), в которой показывались достижения китайской алгебры до XVII в., стали проводиться попытки синтезирования ее с западной математикой.
 
Система счисления и вычислительные устройства
 
Запись цифр. Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки.
 
Рис. 1Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы (рис. 1). В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 (и [2] , эр [2], сань [2], сы [7], у [5], лю [1], ци [8], ба [2], цзю [1]). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10000 (ши [16], бай [1], цянь [2], вань [1]). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.
 
Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами.
 
100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями цифры для единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются (насколько известно по найденным образцам иньской и чжоуской цифровой записи), хотя внутренняя логика системы этого требовала. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.
 
Принцип записи цифр, при котором число, большее числа, являющегося основанием системы счисления, изображается при письме как сочетание значащей цифры и знака разряда, называется мультипликативным, а основанная на нем система – именованной позиционной. Она близка к истинной позиционной и может быть преобразована в нее путем введения нуля и исключения названия (знака) разрядов. В иньских и чжоуских цифрах принцип «именованности» применяется с некоторыми исключениями. После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной. В ней числа любого разряда, за исключением единичного, изображаются двумя иероглифами, первый из которых обозначает цифру, а второй – название разряда. Например, число 1234 записывается как и [2] цянь [2] эр [2] бай [1] сань [2] ши [1] сы [7], что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (ср. с рус. «одна тысяча двести тридцать четыре»).
 
Самое большое число, встречающееся в иньских надписях, – 30 000. В «Цзю чжан суань шу» самое большое число представлено в задаче № 24 раздела 4 – 1 644 866 437 500 (объем сферы в чи [1]). Иероглифами это число записывается следующим образом: 1 вань [1] 6 цянь [2] 4 бай [1] 4 ши [16] 8 и [2] 6 цянь [2] 6 бай [1] 4 ши [16] 3 вань [1] 7 цянь [2] 5 бай [1]. Такая запись показывает, что в эпоху Хань китайцы имели систему счисления, в которой разряды объединяются в классы по четыре, а не по три, как в европейской нумерации. Подобное членение характерно для традиционной китайской нумерации. Класс в ней состоит из единиц (и [2]), десятков (ши [16]), сотен (бай [1]) и тысяч (цянь [2]). Классы могут называться по названию входящих в них единиц. Единицы второго класса – это вани [1] (10⁴), а третьего – и [23] (10⁸). Единицы третьего класса в примере из «Цзю чжан суань шу» не названы, поскольку, вероятно, в нем применяется система, в которой после разряда и [2] называются единицы разрядов, идущих через шаг 10⁸, и следующим будут называться единицы разряда 10¹⁶ – чжао. Каноновед Кун Ин-да (574–648) называл эту систему «большим счетом» (да шу), в отличие от «малого» (сяо шу), шаг в котором постоянен и равен 10⁴. По «малому счету» иероглиф чжао должен означать единицы разряда 10¹². В таком значении он впервые встречается в «Цзо чжуани» («Предание Цзо»/«Комментарий [г-на] Цзо [к летописи “Вёсны и осени”]») и «Ли цзи» («Записки о благопристойности/ритуале»). В Китае были и другие системы наименования единиц разрядов. Так, в трактате Сунь-цзы [2] помимо «большого счета», доходящего до разряда 10⁸⁰, указан еще счет, в котором называются вань [1] (10⁴), и [23] (10⁸) и каждый следующий разряд (чжао, цзин [11], гай, цзы [7], жан, гоу [4], цзянь [17], чжэн [1]) вплоть до разряда цзай (10¹⁷).
 
Счетные палочки. Есть основания полагать, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек (чоу [3], чоу цэ, чоу суань и проч.). Сам иероглиф суань 算 – «вычисление» – восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек. Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств (Чжань-го) числа прямо записаны в «палочной» нумерации. Ханьские математические тексты содержат математические выражения, подразумевающие использование счетных палочек.
 
В «Цзо чжуани» имеется пассаж, датируемый 542 г. до н.э., который, если исключить возможность последующей правки, может служить подтверждением того, что «палочная» нумерация существовала в середине эпохи Чжоу. Во всяком случае, он демонстрирует понимание позиционного значения цифр, поскольку в нем число 2666 записывается словосочетанием «двойка и три шестерки» (речь шла о возрасте некоего престарелого человека, выраженном в декадах и равном приблизительно 73 годам).
 
Наиболее известный древний текст, в котором упоминаются счетные палочки, – это «Дао дэ цзин» («Канон дао и дэ»). В его 27 чжане [1] имеется фраза: «Умеющий считать не использует счетных палочек (чоу цэ)». С начала эпохи Хань упоминания о палочках стали достаточно частыми. Например, В «Ши цзи» («Исторические записки», цз. 8) Сыма Цянь описал беседу, произошедшую в 202 г. до н.э. между первым ханьским императором Гао-цзу и министром Ван Лином, в которой император говорит, что один из его талантов – «планирование военных действий со счетными палочками в палатке штаба». В «Хань шу» («Книга о [династии] Хань») Бань Гу  сообщил, что счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину 14 см. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке.
 
При археологических раскопках, проводившихся в 1971 г. в уезде Цянь-ян (пров. Шэньси), было найдено три десятка счетных палочек, датируемых годами правления ханьского императора Сюань-ди (73–49 гг. до н.э.). Их размеры совпадают с описанием из «Хань шу», но сделаны они не из бамбука, а из кости. Палочки в связке, раскопанной в 1975 г. в уезде Цзянлин (пров. Хубэй) и датируемой годами правления императора Вэнь-ди [1] (179–157 гг. до н.э.), сделаны из бамбука, но являются более длинными, чем палочки из Цяньяна.
 
Имеются сведения, что в сокровищнице императора Ань-ди (прав. от 397 до 418 г.) из династии Цзинь хранились счетные палочки одного из министров Цинь Ши-хуана, Чжао То, который впоследствии управлял Югом как независимый князь. Эти палочки имели длину около 30 см, и некоторые из них были сделаны из кости, а другие – из рога, имея, соответственно, белый и черный цвета.
 
Помимо бамбука, рога и кости палочки в эпоху Хань и позже изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Танские администраторы и инженеры имели обыкновение носить у пояса мешочек со счетными палочками. Шэнь Ко (1031–1095), описывая одного из своих современников, астронома Вэй Поу, говорил, что «он мог передвигать счетные палочки настолько быстро, что казалось, что они летали, и глаз не мог поспеть за их движениями до тех пор, пока не был готов результат». Это описание позволяет представить скорость, с которой мог совершаться профессиональный счет. После эпохи Мин о счетных палочках стало меньше сообщений, поскольку они были вытеснены абаком.
 
Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на специальной счетной доске суань пань, на которой каким-либо образом обозначена клеточная структура. Лю Хуй в комментариях к задаче № 18 из «Цзю чжан суань шу» указывает, что для оперирования счетными палочками можно использовать разграфленный кусок ткани.
 
«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Кроме того, посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления. «Палочный» счет оставил свой след в китайской письменности, выражающийся в том, что большинство терминов для вычисления имеет в качестве корневого элемента (ключа) иероглиф «бамбук» и существует много выражений типа «подвинуть палочки» (туй суань), «взять палочки» (чи чоу) и т.д., которые применяются при том или ином вычислении.
 
Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти наиболее общие алгоритмы. Этот процесс был параллелен развитию греческой аксиоматизации.
 
По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек. Такие «палочные» цифры и схемы расчетов присутствуют, например, во многих математических трактатах XIII–XIV вв. Имеется предположение, что самой древней книгой с «палочными» цифрами является «У цао суань цзин» («Счетный канон пяти ведомств»), написанная в IV–V вв. н.э. Однако ни одно из ее изданий их не содержит. Все вычисления записываются в ней стандартным иероглифическим способом. Правда, издания данной книги осуществлялись с XI в., и редакторы могли исключить из нее «палочную нумерацию».
 
В «Цзю чжан суань шу» и других ханьских математических трактатах нет описания счетной доски и правил действий с числами с ее помощью, поскольку, вероятно, она была широко известна, а правила действий объяснялись устно. С другой стороны, в этих трактатах, несомненно, используются выражения, которые подразумевают использование счетных палочек.
 
При «палочном» счете цифры образуются как разные комбинации счетных палочек (рис. 2). Числа от 1 до 5 обозначаются соответствующим количеством палочек. Для обозначения чисел от 6 до 9 одна палочка размещается перпендикулярно остальным, которых будет от 1 до 4 соответственно. Число 10 обозначается одной палочкой, размещенной в соседней позиции перпендикулярно палочке, обозначающей единицу. Очевидно, что в эпоху Хань было окончательно установлено правило для обозначения цифр разных разрядов одинаковыми комбинациями палочек, расположенными в двух различных ракурсах. Один использовался для единиц, сотен, десятков тысяч, и т.д., а второй – для десятков, тысяч, сотен тысяч и т.д. В III–V вв. н.э. они были названы соответственно цифрами цзун [2] и хэн [1] (т.е. «продольными» и «поперечными»). В относящейся к этому времени книге «Сунь-цзы суань цзин» («Счетный канон Сунь-цзы») говорится: «В методах счета прежде всего следует знать позиции (вэй [6]). Единицы продольны, а десятки поперечны, сотни стоят, а тысячи лежат. Поэтому тысячи и десятки выглядят одинаково, также как десятки тысяч и сотни». Иероглиф вэй [6] в цитате из «Сунь-цзы суань цзин» относится к позициям палочек в столбцах на счетной доске, иными словами, к поместному значению. Другим термином был дэн [1] – «ранг».
 
По правилам размещения палочек осуществлялась и запись чисел. Так, например, число 14 285 записывалось следующим образом (рис. 3).
 
Рис.2-5До появления нуля при написании цифр в «палочной» нумерации на его месте оставлялся пробел, как это делалось и на счетных досках. Все вычисления поэтому использовали только девять знаков. Десятичная позиционная система китайцев была в буквальном смысле «системой места». Например, в танских рукописях из пещерных храмов Дуньхуана один свиток содержит расширенные таблицы умножения (mn² и m²n², где комбинируются m и n, равные 1, 2, ... 9), в которых цифры выражаются в «палочной» манере и, например, число 405 (= 5 х 9 х 9) записывается так (рис. 4). 

Знак нуля. До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. Согласно распространенному мнению, он возник в Индии. Одно время полагали, что самое древнее сохранившееся упоминание о нем в математических текстах связано с рукописью, которую обнаружили в 1881 г. в деревне Бакшали (совр. Пешавар) и первоначально относили ко II в. н.э. Однако позже ее стали датировать IV, VII в. или даже IX–XII вв. Нуль в этой рукописи обозначался как точкой, так и кружком. Самое раннее индийское изображение нуля (точка) среди надписей на камнях обнаружено в Шапуре и датируется 672 г. Нуль мог возникнуть в Юго-восточной Азии, являющейся зоной встречи индийской и китайской культур, где он обнаружен приблизительно в то же время, что и в Индии. Первые надписи, содержащие нуль, появляются почти одновременно в Камбодже и на Суматре (683 г.) и на острове Банка рядом с Суматрой (686 г.) (в первых двух случаях символом нуля является точка, в третьем – кружок).
 
Впервые в Китае нуль в виде точки встречается в компендиуме «Кай-юань чжань цзин» («Астрологический канон [периода] Кай-юань»), который в 718–729 гг. написал индийский астроном Цюйтань Сида (Гаутама Сидхартха), работавший в Астрономическом бюро и представивший в 718 г. индийский календарь Наваграха (Цзючжи). Однако, видимо, этот прецедент не произвел на китайскую математику должного действия. Позже китайцы могли заново открыть знак нуля, отталкиваясь от пустых пробелов, оставленных для нуля на счетных досках и в «палочной» записи цифр, которая строится на позиционной системе и используется по крайней мере с эпохи Сражающихся царств. Первоначально он мог обозначаться на письме в виде клеточки счетной доски, которая затем трансформировалась в кружок. «Клеточное» обозначение нуля имеется в календарных разделах «Тан шу» («Книга о [династии] Тан») и «Сун шу» («Книга о [династии] Сун»), а в календаре Да-мин, разработанном Чжао Чжи-вэем в 1182 г., в местах пробелов уже помещен кружок.
 
Может быть, понятие «пустота» (кун [1], сюй) даосского или индийского мистицизма внесло свой вклад в изобретение символа для нуля. Не исключено, что форма знака нуля могла быть заимствована из китайских философских диаграмм XI–XII в., в которых кружок часто обозначал «беспредельное» (у цзи; см. Тай цзи), изначальный хаос (хунь дунь), сближающиеся с понятием «ничто».
 
В любом случае китайские математики XIII в. имели в своем распоряже-нии полностью развитое обозначение нуля, как в примере из изданной в 1247 г. работы Цинь Цзю-шао «Шу шу цзю чжан» («Трактат о вычислениях в девяти разделах»), где вычитание 1 470 000 – 64 464 = 1 405 536 записывается следующим образом (рис. 5).
 
Китайская письменная форма для нуля – иероглиф лин. Его первичное значение – «капли дождя», «капли воды, оставшиеся после дождя» – по ассоциации привело к тому, что он стал означать что-то «мелкое», «разрозненное», «остаточное», «добавочное». В области счета этот иероглиф первоначально применяли во фразах типа «одна сотня и пять в добавок», что означало число 105. Однако, хотя был возможен переход к использованию лин для выражения нуля в этом числе, в таком значении иероглиф лин не использовался в математических текстах до эпохи Мин. С другой стороны, у сунских алгебраистов, которые использовали символ «0», легко найти примеры чисел с нулем, записанных так, что в них термин лин мог бы применяться. Можно предположить, что символ нуля был назван лин со времени его первого широкого использования в эпоху Сун. Не исключено, что такое использование старого знака возникло не только потому, что он долго означал «остаток», но и потому, что символ «0» по форме напоминает сферическую дождевую каплю.
 
Абак. Кроме счетной доски китайские математики имели в своем распоряжении еще два типа механических устройств для облегчения вычислений: абак и счетные палочки, помеченные числами аналогично костям Непера.
 
Китайские счеты суань паньКитайский абак называется чжу суань пань, чжу суань (букв. «пластина с шариковыми счетами», «шариковые счеты») или так же, как и счетная доска, – суань пань («счетная пластина», «счетное блюдо»). Эти счеты историки называют «абаком», имея в виду некоторое сходство с европейским счетным устройством, возникшим в древней Греции и использовавшимся в Европе вплоть до XVIII в. В своем первоначальном виде европейский абак – это доска с ложбинами, в пределах которых можно передвигать счетные костяшки. Суань пань – счетное устройство, широко используемое в Китае с древних времен и до наших дней.
 
Китайский абак представляет собой деревянную раму с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним. Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). Однако, в принципе, каждые колонки костяшек могут принимать любое значение по желанию вычислителя. С помощью абака достаточно удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних.
 
Китайский абакНа основании того, что в китайской литературе не было найдено никакого полного описания абака в его современной форме до сочинения Чэн Да-вэя «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета»), опубликованного в 1593 г., многие историки науки полагали, что этот инструмент не был известен в Китае до конца XVI в.
 
Однако имеются и более ранние прямые или косвенные упоминания о нем. Так, о «доске с перемещающимися шарами», которой следует пользоваться по твердо установленным правилам, сказано в сочинении «Лу тан ши хуа» («Эссе из чертога в предгорье»), которое было издано в 1513 г. Самое раннее изображение этого инструмента было найдено в напечатанном в 1436 г. иллюстрированном детском учебнике «Синь бянь Дуй сян сы янь» («Новая исправленная Хрестоматия изображений четверок иероглифов»). Между 1078 и 1162 гг. было написано четыре книги, которые, судя по их названиям, имели дело с абаком, но ни одна из них не дошла до нас. Еще имеется доказательство из потерянной книги Се Ча-вэя об использовании абака в XI в.
 
Вероятно, самой древней работой, в которой говорится о счете с помощью абака, является трактат «Шу шу цзи и» («Заметки для потомков о правилах вычислений»/«Аритмологичческий мемуар», рус. пер.: С.В. Зинин, 1985), который приписан Сюй Юэ (ок. 160–227), жившему в конце Поздней Хань, и снабжен комментариями (частичн. рус. пер.: С.В. Зинин, 1986), написанными приблизительно в 570 г. Чжэнь Луанем, возможно, и являющимся истинным автором трактата. Эта книга в эпоху Сун вошла в «Суань цзин ши шу» и заметно отличается от остальных работ этого сборника, приближаясь по характеру к сочинениям по арифмологии (шу шу). Об абаке в комментариях к «Шу шу цзи и» говорится в связи с фразой «при счете шариками удерживаются лентами (дай [1]) четыре сезона и [связывается] вдоль и поперёк (цзин вэй) триада драгоценностей (сань цай – Небо, Земля, Человек)». Согласно комментарию Чжэнь Луаня, абак представляет собой доску с тремя, символизирующими указанную «триаду», горизонтальными перегородками – двумя боковыми и одной средней, образующими две секции, в которых по перпендикулярным к перегородкам направлениям могут перемещаться шарики, видимо, нанизанные на веревки – «ленты». В «нижней» секции размещаются символизирующие «четыре сезона» четыре шарика одного цвета, а в «верхней» – находится всего один шарик, имеющий отличный от них цвет. Каждый шарик из «нижней» секции соответствует единице, а «верхний» шарик – пяти единицам. Таким образом, их комбинации могут давать от 1 до 9 единиц выбранного разряда, а один «нижний» шарик из следующей позиции будет соответствовать единице более высокого разряда. В данных комментариях упоминаются еще три вычислительных устройства, в которых используются шарики. Все они строятся на системе координат с разным количеством делений по горизонтали, по которой проходят «пути» (дао), и по вертикали, на которой находятся «позиции» (вэй [6]). Расположение шарика на той или иной позиции определяет соответствующее число, выбранное для каждого устройства. Для вычисления по методу «великое единое» (тай и) используется один шарик, «двоица форм» – два (верхний – синий, а нижний – желтый), «триада» – три (верхний и нижний имеют те же цвета, а средний – белый). Для вычисления по первому методу используется устройство, разграфленное по принципу 9 х 9, по второму – 5 х 5, по третьему – 3 х 3. В комментариях Чжэнь Луаня имеются еще некоторые подробности о числовых, символических и конструктивных особенностях данных вычислительных устройств, однако принцип их работы остается не ясен.

Градуированные счетные палочки. Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них, были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес. Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора, по сути дела, целого устройства, можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой. Лучшая известная китайская книга на эту тему – «Цэ суань» («Вычисление счетными палочками»), написанная в 1744 г. известным ученым и математиком Дай Чжэнем. Эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка. 
 
Вычисления
 
Четыре арифметических действия. Вероятно, уже со времени Сражающихся царств все фундаментальные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) выполнялись с помощью счетных палочек на счетной доске и с использованием системы поместного значения, в которой пробелы были оставлены там, где мы помещаем нули. Хотя иероглифы в китайском письме традиционно писались сверху вниз, цифры на счетной доске всегда размещались по горизонтали слева направо. Сложение целых чисел и дробей обозначалось разными иероглифами – бин [3] и хэ [3]. Вычитание обозначалось иероглифом цзянь [16]. Умножение считалось упрощенным сложением множества слагаемых. Данную операцию обозначал иероглиф чэн [4]. Его исходное значение – «упряжка», «колесница», «ехать на колеснице». Отсюда множители могли мыслиться как упряжка лошадей, управляемая возничим. Деление (чу, исходное значение «удалять») рассматривалось китайцами как упрощенное вычитание или как перевернутое умножение. Делитель назывался фа [1] (букв. «норма») а делимое – ши [2] (букв. «полнота»). Таблицы деления (использующие слова) были обычны начиная с эпохи Сун.
 
Действия по китайскому методу вычислений на счетной доске начинаются с высших разрядов, а затем поэтапно переходят на более низшие. Такой порядок предполагал корректирование промежуточных результатов, что было легко, поскольку достигалось перекладыванием счетных палочек. После каждого этапа предыдущий промежуточный результат заменялся на новый вплоть до получения окончательного результата. Это делало невозможным непосредственную проверку всей последовательности действий.
 
Ввиду простоты сложения и вычитания в математических текстах не приводятся правила их выполнения. Первое описание правил умножения и деления дано в книге Сунь-цзы [2] «Сунь-цзы суань цзин». Осуществление этих действий проводилось в трех позициях (вэй [6]) на счетной доске – в верхней (шан [2]), средней (чжун [1]) и нижней (ся [2]). При умножении множимое помещалось в верхней позиции, множитель – в нижней и их произведение – в средней. При делении делимое располагалось посередине, делитель – внизу, а их частное – вверху.

Позиция      Умножение       Деление
Верхняя       Множимое        Частное
Средняя      Произведение   Делимое
Нижняя       Множитель       Делитель
 
Рис.6Изложение правила умножения Сунь-цзы [2] начинает с указания на необходимость установить множимое и множитель таким образом, чтобы между их разрядами было прямое соответствие, чтобы они «друг на друга взирали» (сян гуань). Правда, вслед за этим, судя по приводимому Сунь-цзы [2] примеру умножения 81 на 81, множитель передвигается вправо так, чтобы его низший разряд находился под высшим разрядом множимого (рис. 6). Затем надо осуществить ряд операций, которые лучше рассмотреть на примере Сунь-цзы [2]. Первая их серия следующая: число в высшем разряде множителя (8) умножается на число из аналогичного разряда множимого (8); произведение (64 сотни) записывается в средней позиции; число в низшем разряде множителя (1) умножается на число из высшего разряда множимого (8); получившееся произведение (8 десятков) складывается с предыдущим произведением (648 десятков). Вторая серия операций начинается с перемещения (туй, букв. «отступать») множителя на одну клеточку вправо и удаления у множимого использованного высшего разряда. Затем число из высшего разряда множителя (8) умножается на число, оставшееся от множимого (1); получается 8 десятков, которые складываются с предыдущим результатом (80 + 6480 = 6560). Наконец на остаток множимого (1) умножается число из низшего разряда множителя (1); получается единица, которая складывается с предыдущим результатом, что дает число 6561.
 
Поскольку деление обратно умножению, Сунь-цзы [2] не видит надобности в описании правила выполнения этого действия, а ограничивается примерами. Для начала приводится пример правильного соотнесения разрядов конкретных делителя и делимого – 6 и 100. Перед началом операций надо «выдвинуть» (цзинь [5]) делитель под самый высокий разряд и посмотреть, возможно ли деление. В разряде сотен стоит число, меньшее делителя. Значит, деление не возможно, и нужно отступить на одну клеточку вправо. Деление 10 на 6 возможно.
 
Еще дается пример деления 6561 на 9 (рис. 7). Первая позиция делителя будет соответствовать сотням делимого. Делится 65 сотен на 9. Помимо остатка получатся 7 сотен, которые помещаются в верхнюю позицию. Из делимого вычитается 63 сотни (= 9 х 7 сотен). В средней позиции получается 261. Делитель перемещается в ячейку справа. Если разделить 26 десятков на 9, то помимо остатка получится 2 десятка, которые записываются в позиции частного, суммируясь тем самым с 7 сотнями. Из числа 261 вычитается 18 сотен (= 9 х 2 десятка). Получается число 81, которое записывается в средней позиции. После этого делитель передвигается еще на одну ячейку вправо. Совершается деление остатка делимого на делитель. Получается число 9, которое суммируется с числом в верхней позиции, что дает результат 729. 
 
Рис.7-8При рассмотрении операции деления Сунь-цзы [2] вводит важное дополнительное правило, касающееся деления с остатком. В этом случае последняя комбинация палочек на счетной доске должна рассматриваться как «запись» частного, состоящего из целого числа и дроби: делитель берется в качестве знаменателя, а остаток делимого – в качестве числителя. Например, при делении 100 на 6 получится 16⁴/₆ (рис. 8).
 
Использование простых дробей. Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань – «половина»: бань – ¹/₂; шао бань («малая половина») – ¹/₃; тай бань («большая половина») – ²/₃. Следующим этапом было развитие общего представления о дробях и формирование правил оперирования с ними. Если в древнем Египте применялись только аликвотные дроби типа ¹/_n, то в Китае они, считаясь долями-фэнь [1], мыслились как одна из разновидностей дробей, а не единственно возможные. Китайская математика с древних времен имела дело со смешанными числами. Самый ранний из математических текстов, «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского гномона»/«(Математический) трактат о гномоне», частичн. рус. пер.: Яо Фан, 2003), содержит вычисления, при которых возводятся в степень такие числа, как, например, 247⁹³³/₁₄₆₀.
 
В «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») дробь рассматривается как часть целого, которая выражается в n-ном числе его долей-фэнь [1] – m (n < m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Напри-мер, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь ²/₅.
 
В первом разделе «Цзю чжан суань шу», посвященном в целом измерению полей, отдельно приводятся правила сокращения, сложения, вычитания, деления и умножения дробей, а также их сравнения и «уравнивания» (пин [1]), т.е. такого сравнения трех дробей, при котором необходимо найти их среднее арифметическое (более простое правило вычисления среднего арифметического двух чисел в книге не приводится).
 
Например, для получения суммы дробей в указанном сочинении предлагается следующая инструкция (I, 9): «Поочередно перемножьте (ху чэн) числители на знаменатели. Сложите – это делимое (ши [2]). Перемножьте знаменатели – это делитель (фа [1]). Делимое соедините с делителем в одно (и [2]). Если имеется остаток, то свяжите его с делителем». Эта инструкция означает, что если складывается несколько дробей, то числитель каждой дроби надо умножить на знаменатели всех остальных дробей. При «соединении» делимого (как суммы результатов такого умножения) с делителем (произведение всех знаменателей) получается дробь, которую следует при необходимости сократить и из которой путем деления следует выделить целую часть, тогда «остаток» – это числитель, а сокращенный делитель – это знаменатель. Сумма набора дробей есть результат такого деления, состоящий из целого числа плюс дробь. Директива «перемножьте знаменатели» означает, по сути, приведение дробей к наибольшему общему знаменателю. В разделе IV процедура сложения дробей несколько иная. Там взамен указанному находится наименьшее общее кратное знаменателей.
 
Правило сокращения дробей в «Цзю чжан суань шу» (I, 6) содержит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя числителя и знаменателя, который совпадает с так называемым алгоритмом Евклида, предназначенным для определения общего наибольшего делителя двух чисел. Но если последний, как известно, дан в «Началах» в геометрической формулировке, то китайский алгоритм представлен чисто арифметически. У Евклида производится последовательное вычитание отрезка B из отрезка A до тех пор, пока не получится отрезок С₁, меньший отрезка В. Затем также вычитается С₁ из В, пока не получится отрезок С₂, меньший отрезка С₁. Подобная процедура будет продолжаться до тех пор, пока не найдется такой отрезок С_n, который укладывается в отрезке C_n-1 целое число раз. Он то и будет общим наибольшим делителем отрезков A и B. Китайский алгоритм нахождения общего наибольшего делителя, называемого дэн шу (букв. «одинаковое число»), строится как последовательное вычитание не отрезков, а меньшего числа из большего. На это число дэн шу и надо сократить дробь. Например, в задаче № 6 предлагается сократить дробь ⁴⁹/₉₁. Проводим последовательное вычитание: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дэн шу = 7. Сокращаем дробь на это число. Получаем: ⁷/₁₃.
 
Деление дробей в «Цзю чжан суань шу» отличается от принятого сегодня. В правиле «цзин фэнь» («порядок деления»), следующем за задачей № 18 из первого раздела, указывается, что перед делением дробей их следует привести к общему знаменателю. Таким образом, процедура деления дробей имеет излишний этап: a/b : c/d = ad/bd : cb/bd = ad/cb. Только в V в. Чжан Цю-цзянь в своем сочинении «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») от него избавился, производя деление дробей по обычному правилу: a/b : c/d = ad/cb. Возможно, долгая приверженность китайских математиков к усложненному алгоритму деления дробей была обусловлена стремлением сохранить его универсальность и использованием счетной доски. По сути дела, он заключается в сведении деления дробей к делению целых чисел. Этот алгоритм остается справедлив, если делится целое число на смешанное. В делении, например, 2922 на 182⁵/₈, оба числа сначала умножались на 8, что позволяло далее делить целые числа – 23376 : 1461 = 16.
 
Десятичные дроби. Появление в Китае десятичных дробей обусловлено прежде всего существованием там десятеричной системы счисления, а также использованием счетной доски, в структуре которой также заложена десятичность, и системы мер и весов, которая с ранних времен строилась по десятичному принципу. В измерительной практике древних народов те или иные меры возникали независимо друг от друга. Так было и в Китае. Некоторые китайские меры были основаны на частях человеческого тела – фаланга пальца (цунь [2]), кисть руки (чи [1]) и т.д. При измерении земли употреблялся бу [5] – «двойной шаг». Были меры растительного происхождения. Так, за один фэнь [1] принималась толщина просяного зернышка. В эпоху Чжоу меры длины варьировались и не всегда имели десятичные соотношения. Например, 1 чжан [4] (199,1 см) = 1 1/4 жэнь [6] = 2 мо [4] = 10 чи [1] = 100 цунь [2]. Когда Цинь Ши-хуан объединил империю (221 г. до н.э.), он выбрал число 6 как свою эмблему и основу стандартизации весов и мер. И хотя «двойной шаг» был установлен в 6 чи [1] (циньский чи [1] = 27,65 см), советники императора построили по десятичному принципу шкалу мер длин, находящихся ниже чи [1]. Таким образом получилось:

1 чи [1] = 10 цунь [2]
1 цунь [2] = 10 фэнь [1]
1 фэнь [1] = 10 ли [14]
1 ли [14] = 10 хао [1]
 
Еще имелся чжан [4] в 10 чи [1] и инь [11] в 10 чжан [4]. Эта система также находилась в обращении в течение всей эпохи Хань и с некоторыми модификациями была использована для построения систем мер длины в более поздние времена.
 
Из десятичной системы мер и весов естественным образом вытекал десятичный способ записи дробей. На ранних этапах развития традиционной математики китайцы не имели дело с отвлеченным числом, а решали практические задачи, в которых обсуждались длины, площади, объемы и веса. Поэтому десятичная запись была, по сути, записью в той или иной десятичной системе измерений. Дроби в такой десятичной записи историки китайской науки называют «метрологическими дробями».
 
Первое письменное свидетельство использования метрологических дробей обнаруживается в комментарии Лю Хуя к «Цзю чжан суань шу», в частности, при обсуждении правил для решения задач № 31 и 32 из первого раздела и № 12–16 из четвертого. В первом случае Лю Хуй указывает, что извлечение квадратного корня может быть произведено точнее, если «спускаясь вниз в делителе, искать мельчайшие числа (вэй шу)», иначе говоря, надо не останавливаться на целом числе, для которого можно дать приблизительный остаток, а извлекать корень дальше, получая десятичные дроби. С помощью метрических единиц Лю Хуй выделяет пять их разрядов, идущих после цуня [2], взятого как целое число: фэнь [1], ли [14], хао [1], мяо [1], ху [5] (букв. «доли», «[зернышки] лебеды», пер. А.И. Кобзева), «шерстинки», «тончайшие», «крошечные»). Однако он осознает, что и этих разрядов не хватит. Поэтому для вэй шу, которые «не имеют названия», можно использовать простые дроби, полученные как приближения при завершающем шаге извлечения корня. Так, например, квадратный корень из 75 (= 8,660254037...) он записывает как 8 цуней [2] 6 фэней [1] 6 ли [14] 2 мяо[1] 5²/₅ ху [5].
 
Во времена Лю Хуя десятичные метрологические дроби еще не получили широкого распространения, поскольку, вероятно, китайцы были так искусны в использовании обычных дробей, что многие из них просто не чувствовали потребность в применении десятичных. Однако позднее они все чаще начинают появляться в литературе.
 
Метрологические дроби являются прообразом настоящих десятичных дробей. Переход к ним был намечен у Сунь-цзы [2]: в задаче № 2 из последнего раздела своей книги он использует в качестве десятых дроби иероглиф фэнь [1] («доля») для выражения неметрического ответа: 37 человек 5 фэней [1], т.е. 37,5 человека. У Сунь-цзы [2] уже нет смешанных выражений как у Лю Хуя. Десятичные метрологические дроби он предпочитает простым. Ими он выражает результаты вычислений, если только искомая величина не является бесконечной периодической дробью. Иногда этими дробями у него выражаются и исходные данные.
 
В трактате Сунь-цзы [2] впервые в Китае представлены метрологические таблицы. При их анализе можно увидеть, что в его время соотношения между единицами мер были не всегда строго десятичны. Причина в том, что меры длины, веса и объема возникали независимо друг от друга в различных областях человеческой деятельности. Можно заметить, что среди мер длины и веса десятичными являются мелкие величины, которые заведомо не могли быть использованы при измерениях, и это указывает на то, что они, возможно, были предназначены для использования в качестве разрядов десятичных дробей. Однако, хотя таблица длин доходит у Сунь-цзы [2], также как и у Лю Хуйя, до ху [5] (при этом термин мяо [1] заменен на сы [8] – «шелковинка»), при решении задач он ограничивается только фэнями [1].
 
Сунь-цзы [2] прекрасно понимал, что десятичные дроби облегчают процедуры умножения и деления на степени 10. В последнем разделе его книги часто встречается выражение – шан ши чжи – «поднять в десять раз», что означает умножение на степень 10. Для обозначения деления на степень он использовал термин туй («отступать»).
 
В «У цао суань цзин» («Счетный канон пяти ведомств»), как и у Сунь-цзы [2], десятичным разрядам любого числа, включая неметрологические, присваиваются названия для десятых долей мер длины – фэни [1]. Но в отдельных случаях, в отличие от Сунь-цзы [2], применяются уже не только десятые, но и сотые (ли [14]) и тысячные (хао [1]) доли цуня [2]. Для переходов из разряда в разряд в этой книге используются термины цзинь вэй и туй вэй – «выдвигаться» и «отступать по разрядам».
 
Применение метрологических дробей давало возможность передвижения по шкале единиц с целью выбора более удобного обозначения для целых и дробных разрядов. Можно, сказать, что при этом использовался принцип «плавающей запятой». Так, меньшим целым числом мог быть выбран разряд чжанов [4], а не цуней [2], как это было у многих авторов после Лю Хуя. Пример этому можно найти в «Суй шу» («Книга о [династии] Суй»), изданной в 635 г., где «верхнее» значение числа «пи», вычисленное Цзу Чун-чжи и равное в современном обозначении 3,1415927, записывается в иероглифах как 3 чжана [4] 1 чи [1] 4 цуня [2] 1 фэнь [1] 5 ли [14] 9 хао [1] 2 мяо [1] 7 ху [5].
 
Танский ученый Хань Янь, творивший между 780 и 804 гг., осуществил нововведение, записывая числа как в современном десятичном обозначении, но используя метрический термин для последнего целого числа. Однако полноценное систематическое применение, хотя и в метрологическом виде, десятичных дробей во всех арифметических действиях встречается только в трудах математиков XIII в., прежде всего, Ян Хуя и Цинь Цзю-шао. Так, Ян Хуй при умножении двух чисел сначала переходит от обычных дробей к десятичным и только потом производит действие. Современный термин сяо-шу для обозначения десятичных дробей ввел Чжу Ши-цзе. Он продолжил единицы длины до 10^-16 чи [1], а при императоре Кан-си этот ряд был доведен до 10^-31 чи [1]. Что касается понятия десятичной дроби в абстрактной форме, то оно стало развиваться в Китае только под влиянием новоевропейской математики.
 
Первое свидетельство использования десятичных дробей в Европе найдено в испанской рукописи 976 г., т.е. приблизительно на семь сотен лет позже, чем о них говорил Лю Хуй. Первый специальный трактат, посвященный десятичным дробям и называющийся «De Thiende» («Десятина»), был написан Симоном Стевиным (1548–1620) в 1585 г. Окончательно десятичные дроби вошли в европейскую математику только в XVII в.
 
«Тройное правило». О том, каким образом древние китайцы применяли «тройное правило», можно получить достаточно ясное представление, рассмотрев задачи, собранные во втором разделе «Цзю чжан суань шу» под названием «Су ми» («Просо и рис») и касающиеся принципов равнозначного обмена. В начале раздела дается таблица условно выбранных коэффициентов (люй [5]) для различных видов продуктов (зерновых, бобовых и др.). В качестве эталонного взят коэффициент для проса, равный 50. Самый маленький коэффициент у «пшена для князей» (21), а самый большой – у хмеля (175).
 
Согласно приводимому алгоритму, чтобы достигнуть равнозначности в обмене одного продукта на другой, надо количество имеющегося продукта умножить на коэффициент искомого, а затем результат разделить на коэффициент имеющегося продукта. По сути дела, речь идет о формуле х = ak_x/k_a, получающейся из пропорции x/a = k_x/k_a, где х – искомое, a – имеющееся, k_x и k_a – коэффициенты искомого и имеющегося. Схожим образом это «тройное правило» формулируется в последнем разделе сочинения Чжан Цю-цзяня «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») (задачи № 17 и 18). Хотя в нем идет речь не о коэффициентах, а об объемах, в комментариях к этому месту Ли Чунь-фэн применил следующую терминологию для членов пропорции: а – со ю шу («число имеющегося»), k_x – со цю люй («коэффициент искомого») и k_a – со ю люй («коэффициент имеющегося»).
 
Вычисление степеней и корней. В традиционной китайской математике возведение в степень некоего числа мыслилось обычным способом, а именно как n-ое произведение сомножителей, равных данному числу. Среди степеней больше всего внимания обращалось на вторую и третью, поскольку с ними связано вычисление площадей и объемов. Квадрат числа имел различные названия. Он назывался фан [1] («квадрат») в эпоху Хань, чэн фан («возведенное в квадрат») в Сун, а в настоящее время используется термин цзы чэн («[число], умноженное на себя»). Другой современный термин – пин фан («плоский квадрат») соотносится с древним названием куба – ли фан («стоячий квадрат»).
 
Нахождение корня мыслилось в китайской математике как процесс, об-ратный возведению в степень, а с геометрической позиции предполагалось, что квадратный или кубический корни числа – это сторона соответственно квадрата или куба, площадь или объем которых равны этому числу. Термины, обозначающие извлечение квадратного и кубического корней, – кай фан и кай ли фан, что буквально означает «раскрытие квадрата» и «раскрытие стоячего квадрата».
 
Правила извлечения квадратного и кубического корней впервые приведены в «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») в четвертом разделе, имеющем название «Шао гуан» («Сужение и расширение»), вслед за задачами № 12–16 и 19–22. С формальной стороны процедура извлечения корня, записанная в данных правилах и выполняемая на счетной доске, подобна процедуре деления. Поэтому подкоренное число называется «делимым» (ши [2]). Относительно его местоположения на счетной доске располагаются все остальные числа. Строка над ним, куда при делении помещается частное, предназначена для искомого корня. На строке, находящейся ниже подкоренного числа, помещаются «текущие делители» (дин фа), возникающие в ходе вычислений. Еще ниже помещается специальная счетная палочка (цзе суань), которая предназначена для определения числа разрядов корня. Сначала она находится под первым разрядом «делимого», а затем ее пошагово передвигают влево – через один столбец при извлечении квадратного корня и через два – кубического. В конце передвижения она обозначит единицы числа, при делении которого на первый текущий делитель будет получено число корня в его высшем разряде. Процедура извлечения корня представляет собой попеременный подбор очередного числа корня и преобразование чисел на счетной доске к виду, пригодному для подбора следующего.
 
Кай фан
Ши
Дин фа
Цзе суань
 
Рис.9Для примера рассмотрим задачу № 12, в которой требуется извлечь квадратный корень из числа 55225. Для начала данное число устанавливается на счетной доске (рис. 9). Передвигаем счетную палочку через один столбец и останавливаем ее под 10000-ым разрядом, где находится 5. Путем пробы подбирается первое число корня – первый «результат» (со дэ – букв. «то, что получено»). Произведение выбранного числа на данный разряд будет считаться первым текущим делителем. Умножение его на это же выбранное число должно быть наибольшим целым среди чисел, не превышающих подкоренного числа. В данном случае выбранное число – это 2, т.к. (2 х 10000) х 2 = 40000 < 55225. Цифра 3 не подходит, т.к. (3 х 10000) х 3 = 90000 > 55225.
 
Таким образом, на счетной доске устанавливается первая цифра корня. Затем вводится первый текущий удвоенный делитель: 20000 х 2 = 40000. На место делимого ставится 1-й остаток – разность между прежним делимым и удвоенным текущим делителем: 55225 – 40000 = 15225. Затем этот делитель уменьшают на разряд и получают «укороченный» текущий делитель: 40000/10 = 4000.
 
После этого передвигают счетную палочку через столбец вправо, тем самым обозначая разряд сотен. Определяют второе число корня и умножают его на данный разряд. Сумма этого произведения и укороченного текущего делителя, умноженного на это же выбранное число, не должна превышать первого остатка. Таким числом будет 3, т.к. (3 х 100 + 4000) х 3 = 12900 < 15225. Если возьмем 4, то (4 х 100 + 4000) х 4 = 17600 > 15225. Итак, новый текущий делитель: 4000 + 300 = 4300. Второй остаток: 15225 – 4300 х 3 = 15225 – 12900 = 2335. «Дополненный» текущий делитель (цзун дин фа): 4300 + 300. Новый «укороченный» текущий делитель: (4300 + 300)/10 = 460.
 
Еще раз передвигают счетную палочку через столбец вправо, тем самым обозначая разряд единиц. Выбирают третье число корня, которым будет 5, поскольку (5 х 1 + 460) х 5 = 2335. Таким образом, квадратный корень из 55225 равен 235. В случае большего подкоренного числа следует поступать аналогичным образом.
 
Все задачи «Цзю чжан суань шу» на извлечение корней подобраны так, что квадратные и кубические корни извлекаются соответственно из квадратных и кубических чисел. В правиле извлечения квадратного корня говорится, что если «извлечение корня не выполняется полностью, то следует продолжать как ранее». В правиле извлечения кубического корня имеется только начальная часть данной фразы, что, очевидно, является результатом порчи текста. Следовательно, можно предположить, что китайцы знали, как извлекать квадратные и кубические корни из соответственно неквадратных и некубических чисел. Возможно, при этом они использовали десятичные дроби, как это предлагал делать при комментировании данных правил Лю Хуй.
 
Среди задач «Цзю чжан суань шу» на извлечение корней есть задачи с дробными числами. В правилах оговаривается, что если нельзя извлечь корень из знаменателя, то, имея дробь a/b, при извлечении квадратного корня следует совершить преобразование √(a/b) в √(ab)/b, а при извлечении кубического корня – ³√(a/b) в ³√(ab²)/b.
 
Описание извлечения квадратного и кубического корней в «Цзю чжан суань шу» является наиболее ранним в истории математики. Вавилоняне для извлечения стандартных квадратных корней пользовались таблицами, обратными по отношению к таблицам квадратов. Сохранилось еще несколько примеров нахождения вавилонянами приближенных значений квадратных корней. В Европе извлечение квадратного корня, основанное на разложении квадрата суммы, впервые встречается в написанных во второй половине IV в. Теоном Александрийским комментариях к астрономическому сочинению Птолемея «Великое построение» («Мэгале синтаксис»), позже названному «Альмагестом». Правила извлечения квадратного и кубического корней привел индийский математик Арьябхата (род. ок. 475) в своем сочинении «Арьябхатия», написанном в 499 г. В средневековой Европе правила извлечения квадратного корня появились в XII в., а кубического – в XIII в.
 
Вычислительная процедура извлечения квадратного и кубического корней, использовавшаяся китайцами по меньшей мере во II в. до н.э., схожа в определенных аспектах со «схемой Горнера», разработанной английским математиком Уильямом Горнером (1786–1837) в 1819 г. Помимо формальных различий в способе записи промежуточных результатов китайское правило отличается по существу от этой схемы, в частности, тем, что в нем латентно используется формула разложения бинома. «Схема Горнера» – это метод оценки корня многократной аппроксимацией, каждый раз более точной, чем на предшествующем шаге. Горнер осуществлял аппроксимацию, увеличивая десятичные дроби. Ранее, в 1767 г., французский математик Жозеф Лагранж (1736–1813) сделал это непрерывными (цепными) дробями. Таким образом, «Лагранжев метод» использования дробей был развит в Китае во II в. до н.э. (за 20 столетий до Лагранжа) и был улучшен в III в. н.э. Лю Хуем (за 15 столетий прежде Горнера).
 
В своих комментариях к трактату «Цзю чжан суань шу» Лю Хуй дал геометрическое обоснование метода извлечения корней в терминах десятичных дробей. Возможно, этот метод имеет геометрическое происхождение, ведь в правилах извлечения квадратного и кубического корня подкоренное число называется цзи [7] – «площадь» и «объем». У Лю Хуя процедура извлечения корней описана как разновидность метода исчерпания, который он применял при вычислении площади круга и сегмента, а также объема пирамиды. При этом он ссылался на чертежи, которые не сохранились. Возможно, чертеж, иллюстрирующий геометрическую процедуру извлечения квадратного корня, был таким же, как в книге Ян Хуя «Сян цзе Цзю чжан суань фа» («Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах”»), написанной в 1261 г.
 
Рис.10Этот чертеж показывает ряд квадратов (K, L, M), которые располагаются по диагонали внутри большого квадрата ABCD, соответствующего подкоренному числу (рис. 10). Эти квадраты соответствуют числам в разрядах корня, находимым путем подбора при извлечении корня с помощью счетной доски. При построении второго квадрата (L) возникают два прямоугольника, прилегающих к сторонам первого квадрата (K). Процедура будет продолжаться до полного исчерпания площади большого квадрата в том случае, если он соответствует квадратному числу. В противном случае можно говорить о разного рода приближениях.
 
Алгебра
 
Общая специфика. Когда историками науки указывается, что во II тыс. до н.э. вавилоняне уже были знакомы с алгеброй, под этим подразумевается, что они умели решать задачи, которые теперь решаются алгебраическими методами. При этом надо учитывать, что алгебра вавилонян во многих отношениях значительно отличалась от современной. Было прослежено влияние вавилонской алгебры на греческую математику. Вопрос, могли ли основы китайской алгебры возникнуть за счет вавилонского влияния, остается, в принципе, открытым, но пока не появилось достаточно серьезных доводов в пользу его положительного решения.
 
Алгебра доминировала в китайской математике, насколько прослеживается ее история, начиная со II в. до н.э. Она неизменно сохраняла свою специфическую форму, аналогов которой невозможно обнаружить ни в какой другой традиционной математике. Она была «вербальной», т.к. полностью записывалась в словах, и позиционной, поскольку позиции в ней заменяли символику. Ее можно считать вполне полноценной алгеброй, главной характеристикой которой является наличие понятия неизвестной. Оперирование с последней как с известной величиной приводит к составлению и решению уравнений. При этом не важно, используется ли символическая или словесная форма записи уравнений. Но у китайцев не было уравнений. Их заменяли алгоритмические правила и счетная доска как особая матрица, которая задавала некое «символическое пространство», некую «символическую структуру», наделяющую определенными значениями отдельные члены такого матричного «уравнения».
 
Счетная доска давала возможность формализовать процедуру и была эффективной заменой символики. Она использовалась таким способом, что некоторые позиции были заняты определенными видами величин (неизвестные, степени и т.д.). С ее помощью была установлена фиксированная система регистрации математических примеров. Но так как решаемые китайцами задачи всегда сохраняли связь с конкретными проблемами, у них не было общей теории подобных матричных «уравнений». Была только склонность мыслить в типовых примерах, развитая при работе со счетной доской и тем самым ведущая к некоторым обобщениям. К сожалению, хотя сам принцип подобных матричных решений уравнений был хорош, он со временем привел к ситуации, при которой дальнейший прогресс был уже не возможен.
 
Символы как таковые стали использоваться в китайской алгебре поздно и происходило это редко. Например, в XIII в. для обозначения элементов уравнений применялись иногда циклические знаки. С другой стороны, в китайской алгебре использовались абстрактные технические иероглифы для структуры матрицы (например, столбцы – хан [1], строки – вэй [6]) и для указания обобщенных количеств и математических действий. Если эти иерогли-фы и не были символами в математическом смысле, то значили все же больше, чем просто слова.
 
Что касается алгебраической символики, то она является достаточно поздним изобретением во всем мире. Ее не имела алгебра вавилонян, которая была достаточно развитой и включала уравнения третьей и четвертой степени. Греки во времена Евклида решали множество сравнительно трудных задач геометрически, также не прибегая к алгебраической символике. Только пять с половиной столетий позже, благодаря Диофанту, западная алгебра приобрела некоторую элементарную разновидность символического обозначения.
 
В начале Средневековья, по причине общей деградации западной науки, греческая алгебра была забыта. Возникшая затем в арабо-мусульманском мире алгебра своим происхождением была обязана прежде всего соответствующему влиянию Индии и, возможно, Китая. Сам термин «алгебра» произошел из заголовка книги «Китаб мухтасар аль-джебр в-аль-мукабала» («Краткая книга восполнения и противопоставления»), написанной Абу Абдаллой Мухаммедом бен Мусой аль Маджуси аль-Хорезми (787–850). Два последних слова в ее заголовке являются математическими терминами. Аль-джебр («восполнение») обозначает перемещение с переменой знака отрицательного элемента уравнения в другую часть уравнения, а аль-мукабала («противопоставление») – сокращение положительных элементов, которое производится с целью упростить обе стороны уравнения. В китайской математике не имелось терминов, точно обозначающих эти процедуры, однако процедуры «сложения элементов с различными знаками» и «вычитания элементов с тем же самым знаком», упомянутые в «Цзю чжан суань шу», им вполне соответствуют. Развитие алгебраической символики началось в Европе только в XIII в. с трактата по арифметике и алгебре генерала доминиканского ордена Иордана Неморария (Iordanus Nemorarius), а современного уровня она достигла только у Франсуа Виета (1580 г.). Вслед за этим в конце династии Мин, после знакомства с западной математикой через католических миссионеров, она стала использоваться и в Китае.

Системы линейных уравнений. Характер действий на счетной доске определил появление в древнем Китае специфического алгоритма вычислений системы линейных уравнений, при котором коэффициенты уравнения располагаются на доске в виде табли-цы, позволяющей во всех случаях обращаться с ними одинаковым образом.
 
В книге «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») ряд задач, собранных в разделе VIII, сводится к системам линейных уравнений. Решаются они по правилу, давшему название данному разделу, – фан чэн (букв. «квадратное (табличное) упорядочивание»), которое напоминает правило Гаусса. Например, первая задача, касающаяся объема зерна (в доу), полученного из снопов трех разных урожаев и имеющего, соответственно, раз-ное качество, сводится к решению следующей системы уравнений, которая записывается в виде матрицы коэффициентов (рис. 11).
 
Рис.11-13Урожаи в задаче определяются как верхний (хороший), средний, нижний (плохой) – шан [2], чжун [1], ся [2], что соответствует трем верхним строкам матрицы и можно обозначить символами x, y, z. Нижняя строка будет занята неизменными членами. Коэффициенты первого уравнения помещены в правую (ю [9]) колонку, а коэффициенты второго и третьего уравнений – в среднюю (чжун [1]) и левую (цзо).
 
Решение производится сокращением коэффициентов в колонках (рис. 12). Для начала коэффициенты средней колонки умножаются на 3 – коэффициент в первой позиции в правой колонке, а затем из средней колонки дважды (в общем случае такое количество раз, какое необходимо) вычитается правая колонка, чтобы получить 0 в ее первой позиции.
 
Подобными процедурами с первой колонкой добиваются получения двух нулей в ее первой и второй позициях (рис. 13). Это дает возможность найти значение z. Подставляя это значение в среднюю колонку, получают y. Остается получить x, подставляя z и y в правую колонку. Ответы: x = 9¹/₄ доу; y = 4¹/₄ доу; z = 2³/₄ доу.
 
В «Цзю чжан суань шу» есть также задачи на определенные системы линейных уравнений с двумя, четырьмя и пятью неизвестными. Начиная с эпохи Хань правила решения этих уравнений долго не были отделены от конкретных практических проблем, и только Ян Хуй в XIII в. выразил их обобщенным способом. Правило фан чэн напоминает по идее метод определителей, который был предложен в 1693 г. Г. Лейбницем для решения систем линейных уравнений и был развит в 1750 г. швейцарским математиком Габриелем Крамером (1704–1752). Однако, в отличие от определителей, матрицы фан чэн, структура которых в значительной степени задается системой уравнений, имеют неравноправные столбцы и строки, включают свободные члены и проч. Видоизменив соответствующим образом правило фан чэн, японский математик Секи Кова (1642–1708) смог преобразовать его в метод определителей, который был им описан в книге «Кай фукудай но хо» («Решение задач методом определителей»), изданной в 1683 г.
 
Отрицательные числа. При применении правила фан чэн для решения систем линейных уравнений могут получиться отрицательные коэффициенты. Такие случаи учитываются в «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах»), что является первым применением отрицательных чисел в истории математики. Отрицательные числа присутствуют в этой книге не только в условиях некоторых задач как обозначения того или иного «убытка», но и как результат вычитания коэффициентов одного уравнения из коэффициентов другого в том случае если последние равны нулю (просто отсутствуют) или меньше вычитаемого. Таким образом, использование отрицательных чисел формально. Они не рассматриваются как нечто реально существующее. Отрицательные числа называются фу [15] (букв. «долг, груз, поражение, нарушение, неправильное»), что семантически указывает на их оппозицию положительным числам, имеющим название чжэн [1] («правильное», «истинное»).
 
В «Цзю чжан суань шу» отрицательное число появляется впервые в решении задачи № 3 из раздела VIII. Вслед за ней дается правило суммирования и вычитания положительных и отрицательных чисел, называемое «правилом положительного и отрицательного» (чжэн фу шу). Оно аналогично современному. В этой же задаче отрицательное число умножается на положительное. При этом произведение берется, как и положено, отрицательным, но правила на этот случай нет. Других операций с отрицательными числами в «Цзю чжан суань шу» производить не требовалось. Закон умножения знаков (минус, умноженный на минус, равен плюсу и т.д.) был известен алгебраистам Сун и заявлен, например, в книге Чжу Ши-цзе «Суань сюэ ци мэн» («Введение в учение о счете»), написанной в 1299 г.
 
Вероятно, уже во II в. до н.э. на счетной доске положительные коэффициенты уравнения были представлены белыми счетными палочками, а отрицательные – черными. Для этого также использовались счетные палочки соответственно треугольного и квадратного сечения. Чтобы на счетной доске отличить отрицательное число от положительного числа в случае, когда нет палочек двух видов, оно могло отмечаться, как делал математик Лю Хуй в III в. н.э., наклонной позицией. В книгах эпохи Сун положительные и отрицательные числа изображались красным и черным цветами, а Ли Е обозначал отрицательные числа перечеркиванием первого разряда в цифре.
 
В античной Европе отрицательные числа появились впервые в книге «Арифметика» (ок. 275 г. н.э.) греческого математика Диофанта, который, хотя и дал правила умножения положительных и отрицательных чисел, отвергал их как «абсурдные», когда они входят в решения уравнений. В Индии их использовал математик Брахмагупта (ок. 598–660) в сочинении «Усовершенствованное учение Брахмы», написанном в 628 г. Среди арабо-мусульманских ученых первым на них обратил внимание Абу-аль-Вафа/Вефа (940–998), занимавшийся переводом Диофанта. Отрицательными числами занимался в XIII в. итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1180–1240). Но настоящее принятие отрицательных чисел в Европе произошло в середине XVI в., когда великий гений Ренессанса, Джероламо Кардано (1501–1576) издал в 1545 г. свою книгу по алгебре, названную «Великое искусство». В ней Кардано не только признал отрицательные числа (названные им debitum – «дебет»), которые он получал в решениях различных уравнений, но и изложил правила обращения с ними.
 
Правило ин бу цзу. Правилу ин бу цзу («избыток и недостаток») посвящен одноименный 7-й раздел «Цзю чжан суань шу». Это правило, применяемое к системам линейных уравнений с двумя неизвестными, имеет три существенно различные модификации. Первая модификация применяется к задачам (№ 1–8), в которых требуется найти денежную сумму (y) и количество (x) людей, которое ее вносит на покупку некой вещи. По условиям данных задач требуется, по сути, составить два уравнения, в которых коэффициенты при неизвестном y равны единице, а при x соответствуют индивидуальным взносам (а₁ и а₂). Имеются задачи с двумя свободными членами (b₁ и b₂) – избыток и недостаток (№ 1–4), оба избытка или оба недостатка (№ 5 и 6) – и с одним (b), который выражает избыток или недостаток при наличии нормы (№ 7 и 8).
 
В случае избытка и недостатка задача выражается следующей системой двух уравнений:
 
a₁x = y + b₁
a₂x = y – b₂
 
Рис.14Согласно правилу ин бу цзу, для начала на счетной доске следует расположить в ряд взносы, а под ними поместить избыток и недостаток. Получается следующая матрица (рис. 14).
 
После этого перемножают крест-накрест члены этой матрицы и получают их сумму, которая определяется как ши [2] («делимое»):
 
ши [2] = a₁b₂ + a₂b₁.
 
Затем берется сумма избытка и недостатка, которая определяется как фа [1] («делитель»):
 
фа [1] = b₁ + b₂.
 
Если имеются дроби, то они приводятся к общему знаменателю. Наконец, берется разность большего и меньшего взноса (a₁ – a₂, при а₁ > а₂), на которую делятся ши [2] и фа [1], что соответственно даст стоимость вещи (y) и количество людей (х).
 
x = (b₁ + b₂)/(a₁ – a₂),
y = (a₁b₂ + a₂b₁)/(a₁ – a₂).
 
Например, в задаче № 1 говорится, что если при покупке какой-то вещи каждый человек вносит 8 неких денежных единиц, то избыток равен 3, а если – 7, то недостаток равен 4. Спрашивается: каково количество людей и сколько стоит вещь? Здесь решаются уравнения 8x = y + 3 и 7x = y – 4. Вычисляем ши [2] = 32 + 21 = 53 и фа [1] = 3 + 4 = 7. Разность a₁ – a₂ = 8 – 7 = 1. Тогда х = ⁷/₁ = 7, а у = ⁵³/₁ = 53.
 
Для задач № 5 и 6, в которых имеется оба избытка (a₁x = y + b₁, a₂x = y + b₂) или оба недостатка (a₁x = y – b₁, a₂x = y – b₂), следует при получении ши [2] и фа [1] учитывать изменения знаков в исходных уравнениях. После построения матрицы находят ши [2], которое получается за счет вычитания меньшего крестообразного произведения двух членов матрицы из большего, и находят фа [1] как разность большего и меньшего избытка или недостатка. Затем вычисляется разность большего и меньшего взноса (a₁ – a₂, при а₁ > а₂), на которую следует разделить ши [2] и фа [1], чтобы получить стоимость вещи (y) и количество людей (х).
 
ши [2] = a₁b₂ – a₂b₁, при a₁b₂ > a₂b₁,
фа [1] = b₁ – b₂, при b₁ > b₂.
x = (b₁ – b₂)/(a₁ – a₂),
y = (a₁b₂ – a₂b₁)/(a₁ – a₂).
 
Для решения задач № 1–6 дополнительно приводится другое правило – вторая модификация правила ин бу цзу, согласно которой не требуется построения матрицы, а процедура решения сводится, по сути, к следующим уравнениям (при а₁ > а₂):
 
а) при избытке или недостатке: x = (b₁ + b₂)/(a₁ – a₂), y = a₁x – b₁ = a₂x + b₂;
б) при двух избытках: x = (b₁ – b₂)/(a₁ – a₂), y = a₁x – b₁ = a₂x – b₂, при b₁ > b₂;
в) при двух недостатках: x = (b₁ – b₂)/(a₁ – a₂), y = a₁x + b₁ = a₂x + b₂, при b₁ > b₂.
 
Правило для решения задач № 7 и 8, в которых имеются избыток и нор-ма или недостаток и норма, также не требует построения матрицы и, по сути, представляет собой упрощенный вариант предыдущего, дополнительного правила для задач № 1–6. Чтобы получить количество людей, предлагается избыток или недостаток разделить на разность большего и меньшего взносов, а стоимость вычисляется как умножение количества людей на размер взноса, при котором образуется норма: x = b/(a₁ – a₂), при а₁ > а₂; y = a₂x, при a₁x = y ± b или y = a₁x, при a₂x = y ± b.
 
Правило решения задач № 1–6 с помощью матрицы обладает некоторой избыточностью. В нем вводятся выражения, определенные как делимое-ши [2] и делитель-фа [1], но не используемые согласно данному определению. Между тем, образуемая этими выражениями дробь будет обозначать истинную величину взноса каждого пайщика: а₀ = (ши [2])/(фа [1]) = y/x. С практической точки зрения знать последнюю было бы достаточно важным, и кажется странным, что в рассмотренных задачах ее не упоминают. Для расчета стоимости вещи и количества пайщиков матричный метод явно громоздок и, видимо, не случайно для него приводится облегченный дополнительный метод. Обращает на себя внимание и то, что получить величину взноса каждого пайщика матричным методом можно, не вычисляя предварительно стоимость вещи и количество пайщиков. Да и в целом, для этого не надо ни проводить анализ задачи, ни составлять уравнения, а достаточно только применить указанный алгоритм, который автоматически приводит к результату. Древнему математику все это могло видеться как фокус или чудо. Остается только гадать, почему же в указанных задачах отсутствует задание вычислить величину взноса каждого пайщика: может быть, это ошибка редакторов, дидактический прием (предполагающий, например, что ученик спросит учителя о значении ши [2] и фа [1], а тот ему откроет «секрет») или еще что-либо. Во всяком случае, очевидно, что с методом вычисления подобной величины, равной дроби (ши [2])/(фа [1]), которая имеет рассмотренные значения, древние китайцы были так или иначе знакомы. На это дополнительно указывает то, что остальные задачи раздела (№ 9–20) посвящены именно этому методу, правда, применяемому совершенно при иных условиях и иной процедуре решения. Так или иначе этот метод и следует считать главным аспектом правила ин бу цзу. Третья модификация правила ин бу цзу, которая была впервые письменно применена в 7-ом разделе «Цзю чжан суань шу» к задачам № 9–20, получила затем широкое распространение в средневековой индийской, арабской и европейской математической литературе. Арабы называли ее «правилом двух ошибок», а европейцы – «правилом двух ложных положений». Суть этого правила в том, что, например, для уравнения, подобного ax = b, могут быть сделаны два предположения в отношении того, чем мог бы быть x. Они дадут два ложных результата, т.е. ag₁ = b + f₁ и ag₂ = b + f₂, где g – предположение, а f – ложный результат. С этими уравнениями теперь следует обращаться как с системой двух уравнений, из которых находится значение b/a и, таким образом, x, поскольку в исходном уравнении x = b/a.
 
Задачи № 9–20 достаточно разные по содержанию и по сложности. Для некоторых задач решение оказывается очевидным, а для других – нет. Так, в самой простой задаче – № 10 – спрашивается, через сколько дней встретятся на одной высоте стебель тыквы, свисающий со стены высотой в 9 чи [1] и растущий со скоростью 7 цуней [2] в день, и стебель кабачка, подымающийся от основания стены и растущий со скоростью 1 чи [1] в день. Действительно, учитывая, что 1 чи [1] = 10 цуням [2], можно составить уравнение 90 – 7х = 10х, из которого 17х = 90. Решая последнее уравнение, получаем х = 5⁵/₁₇. Однако в правиле к этой задаче вводится два «предположения» (g₁ и g₂), согласно которым это произойдет через либо 5, либо 6 дней, а это будет означать, что либо не хватит 5 цуней [2] (f₁), либо останется 1 чи [1] 2 цуня [2], т.е. 12 цуней [2] (f ₂). Все это вычисляется из того же уравнения 17х = 90. А дальше надо на основе уравнений 5a = 90 – 5 и 6a = 90 + 12, составить матрицу, чтобы получить по ней ши [2] (g₁f₂ + g₂f₁), которое затем делится на фа [1] (f₂ + f₁), и получается x = (60 + 30)/(5 + 12) = ⁹⁰/₁₇ = 5⁵/₁₇.
 
Усложнение других задач произведено разными способами. Например, используются коэффициенты из 2-го раздела, в условиях говорится о геометрической прогрессии, вводится вторая неизвестная и др. Однако во всех задачах есть блок, который решается достаточно просто по правилу ин бу цзу, работающему здесь как правило двух ложных положений. Все случаи его применения демонстрируют характерную тенденцию традиционной китайской математики к выработке четких алгоритмов для определенного класса задач.
 
Неопределенные уравнения. Во 2-ом разделе книги «Цзю чжан суань шу» есть серия задач (№ 38–43), в условиях которых говорится о четырех неизвестных, связанных двумя уравнениями. Однако, судя по ответу, имеется еще одно уравнение, связывающее два неизвестных, и допускаются только целочисленные решения. Поэтому на самом деле здесь представлены легко решаемые системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Например, согласно задаче № 38, на покупку 78 бамбуков, среди которых есть большие и маленькие, затратили 576 цяней [4]. Спрашивается, сколько было куплено больших и маленьких бамбуков и какова их стоимость. В ответе стоимость большого бамбука на 1 цянь [4] больше маленького:
 
v = u +1.
 
По условиям:
 
х + y = 78,
ux + vy = 576.
 
Откуда:
 
78u + y = 576,
u + y/78 = 7 + 30/78.
 
Единственными целочисленными положительными значениями неизвестных, удовлетворяющими этим уравнениям, являются u = 7 и y = 30. Отсюда v = 8 и x = 48.
 
В книге «Цзю чжан суань шу» есть только одна задача (VIII, 13) на решение неопределенной системы уравнений, по условиям которой имеется шесть неизвестных и пять уравнений. Условия таковы, что одно неизвестное можно выразить как свободный член всех пяти уравнений, являющихся достаточно простыми, поскольку в них суммируется по два неизвестных. Это и позволяет решить данную систему уравнений обычным способом фан чэн, но только для частного случая, дающего минимальные целочисленные положительные решения.
 
Впоследствии наиболее распространенной формой, принятой в китайской математике задачами с неопределенными уравнениями, была форма «задачи о сотне птиц» (бай цзи ти), имеющей несколько целочисленных положительных решений. Согласно Чжэнь Луаню, эта задача (условия которой он приводит вместе с одним решением, хотя есть и второе) была известна позднеханьскому Сюй Юэ. Однако широкое распространение она получила в изложении Чжан Цю-цзяня. В его сочинении «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») эта задача является самой последней (III, 38): «Петух стоит 5 цяней [4], курица – 3 цяня [4], 3 цыпленка – 1 цянь [4]. (Чжэнь Луань указывает другие условия: петух – 1, курица – 4, 4 цыпленка – 1 цянь [4].) На 100 цяней [4] было куплено 100 птиц. Сколько в отдельности было куплено петухов, куриц и цыплят?» Дается три ответа: 1) 4, 18, 78; 2) 8, 11, 81; 3) 12, 4, 84. Способ следующий: «Для каждого петуха прибавляй по 4, для каждой курицы убавляй на 7, для каждого цыпленка увеличивай на 3, тогда получишь».
 
Условия задачи можно выразить следующими уравнениями:
 
5x + 3y + z/3 = 100,
x+ y + z = 100.
 
Эти уравнения можно преобразовать в следующее:
 
7x + 4y = 100.
 
Отсюда получаем:
 
y = (100 – 7x)/4 = 25 - 7x/4,
z = 100 – x – y = 75 + 3x/4.
 
Значения y и z будут целыми положительными, если x = 4n, при n = 1, 2, 3: x = 4n, y = 25 – 7n, z = 75 + 3n. В ответе даются именно эти значения. Кроме них еще есть одно неотрицательное решение при n = 0: x = 0, y = 25, z = 75.
 
Задача о птицах получила распространение не только в Китае, но и в других странах. Ее числовые решения, например, встречаются в трактатах «Книга об алгебре и алмукабале» египетского математика Абу Камила (ок. 850–930) и «Венец учения» индийского ученого Бхаскары (1114–ок. 1178). Сходная задача, правые части уравнений которой равны также 100, имеется в книге «Задачи для оттачивания ума юношей», приписываемой Алкуину (730–804), руководителю каролингского кружка интеллектуалов, и в работе астронома и математика Джемшид аль-Каши (ум. ок. 1436) «Ключ арифметики», написанной в 1427 г. и содержащей подробный ее разбор. Задачи, подобные по форме условий, но имеющие различные названия и числовые значения, часто упоминались в средневековых учебниках математики.
 
Системы сравнений первой степени. Системы сравнений первой степени с одним неизвестным интересовали китайских математиков начиная, по крайней мере, с IV в. н.э., когда Сунь-цзы [2] в «Сунь-цзы суань цзине» («Счетный канон Сунь-цзы») рассмотрел следующую задачу (№ 26 в последнем разделе): «Имеются вещи, число которых неизвестно. Если считать их тройками, то будет 2 в остатке. Если считать их пятерками, то будет 3 в остатке. Если считать их семерками, то будет 2 в остатке. Сколько же вещей имеется?»
 
Правило, предлагаемое Сунь-цзы [2], разбивается на несколько шагов. При счете тройками и остатке 2 надо взять 140, при счете пятерками и остатке 3 – 63, при счете семерками и остатке 2 – 30. Складывая эти числа, получим 233. Вычитая из данного числа 210, получаем искомый ответ. В общем случае, как пишет Сунь-цзы [2], если при счете тройками остаток 1, то берется 70, при счете пятерками остаток 1, то – 21, при счете семерками остаток 1, то – 15. Если сумма этих чисел больше 106, то вычитая по 105, получаем искомый ответ.
 
Говоря в терминах современной теории сравнений, в этой задаче ищется решение линейной системы сравнений с попарно взаимно простыми модулями:
 
x ≡ r₁ (mod q₁),
x ≡ r₂ (mod q₂),
x ≡ r₃ (mod q₃),
где х – искомое «число вещей», r₁ = 2, r₂ = 3, r₃ = 5, q₁ = 3, q₂ = 2, q₃ = 7.
 
Ищутся вспомогательные числа N₁, N₂, N₃, удовлетворяющие следующей системе сравнений:
 
N₁q₂q₃ ≡ 1 (mod q₁),
N₂q₁q₃ ≡ 1 (mod q₂),
N₃q₁q₂ ≡ 1 (mod q₃), т.е.
35N₁ ≡ 1 (mod 3),
21N₂ ≡ 1 (mod 5),
15N₃ ≡ 1 (mod 7).
 
Эти сравнения заменяются на более простые:
 
2N₁ ≡ 1 (mod 3),
N₂ ≡ 1 (mod 5),
N₃ ≡1 (mod 7).
 
Из них подбором находят N₁ = 2, N₂ = 1, N₃ = 1, а затем находятся числа N₁q₂q₃ = 70, N₂q₁q₃ = 21, N₃q₁q₂ = 15.
 
Теперь можно найти искомые числа из сравнения:
 
х ≡ (N₁q₂q₃r₁ + N₂q₁q₃r₂ + N₃q₁q₂r₃) (mod q₁q₂q₃), т.е. х ≡ (140 + 63 + 30) (mod 105) или х = 233 – 105n, где n – любое целое число. При n = 2 получается наименьшее положительное значение x = 23.
 
В VIII в. И-син в своей работе над календарем использовал метод Сунь-цзы [2], распространив его на случай, когда модули не являются попарно взаимно простыми, а пятью столетиями позже Цинь Цзю-шао дал ему полное объяснение.
 
Интересно, что задача, составленная Сунь-цзы [2], с теми же числовыми данными и с аналогичным решением приводится в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Пизанским. В несколько измененной форме она затем часто встречается в различных европейских математических сочинениях XIII–XVII вв. В 1740 г. анализом метода решения подобных задач занимался Л. Эйлер, а в 1801 г. – К. Гаусс в своих «Арифметических исследованиях».
 
«Метод конечных разностей». Одной из наиболее интересных задач, которые решали китайцы и в которых имелись квадратные степени, была задача обнаружения произвольных констант в формулах для небесных движений. Это было почти то же самое, что теперь называется «методом конечных разностей» или «методом сеток». Неизвестно, насколько далеко в древность уходит происхождение этого метода, но им определенно пользовался в 665 г. Ли Чунь-фэн при составлении календаря Линь-дэ. В работе этого ученого, который был занят выведением формулы, выражающей нерегулярности в видимом движении Солнца по небу, этот метод был основан на квадратном уравнении. Задача заключалась, если записать ее условия в современных терминах как Ax + Bx² = y, в нахождении констант А и B, так как x и y были известны (это были, соответственно, интервал времени между последовательными наблюдениями Солнца и число градусов, на которые Солнце передвигалось в течение каждого интервала).
 
На основании серии данных, собранных Ли Чунь-фэном, получалось:
 
Ax₁ + Bx²₁ = y₁,
Ax₂ + Bx²₂ = y₂,
Ax₃ + Bx²₃ = y₃.
 
В начале процедуры производится вычитание уравнений с x₁ и x₂:
 
A(x₂ – x₁) + B(x²₂ – x²₁) = y₂ – y₁.
 
Делятся обе части данного уравнения на (x₂ – x₁):
 
A + B(x₂ + x₁) = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁).
 
Аналогичные операции совершаются с уравнениями с x₂ и x₃:
 
A + B(x₃ + x₂) = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂).
 
Затем производится вычитание последних двух уравнений:
 
B(x₃ – x₁) = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂) – (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁).
 
Эта процедура дает числовой ответ для B, по которому можно вычислить A. Точность могла быть повышена за счет применения уравнения с более высокими степенями x и третьей произвольной константой. Последнее было осуществлено Го Шоу-цзином в 1281 г. Метод, который он использовал, был сопоставим с процедурой, осуществленной в 1303 г. Чжу Ши-цзе для обнаружения суммы некоторого ряда, что является примечательным предвосхищением этого метода, который был принят и полностью разработан в Европе только в XVII–XVIII вв.
 
Квадратные уравнения. Квадратные уравнения в «Цзю чжан суань шу» впервые решаются в задачах № 11 и 12 из 9-го раздела. Так, в первой из них говорится о двери, высота (y) которой больше ее ширины (x) на n = 6 чи [1] 8 цуней [2], а диагональ (d) равна 1 чжану [4] (= 10 чи [1]). Требуется найти ширину и высоту двери. Ответ: ширина – 2 чи [1] 8 цуней [2], высота – 9 чи [1] 6 цуней [2]. Правило решения следующее. Надо взять квадрат диагонали (d²), называемый здесь ши [2], и вычесть из него удвоенный квадрат половины избытка 2(n/2)². Берется квадратный корень из половины этой разности √[(d² – 2(n/2)²)/2] и для х из него вычитается половина избытка (n/2), а для y с ним она суммируется: x = √[(d² – 2(n/2)²)/2] – n/2; y = √[(d² – 2(n/2)²)/2] + n/2. По-видимому, эта задача решалась по вавилонскому методу. По условию y – x = n и d² = x² + y². Берем x = z – n/2; y = z + n/2. Отсюда d² = x² + y² = 2z² + 2(n/2)² и z = √[(d² – 2(n/2)²)/2]. Корень мог извлекаться по методу кайфан. Вторая задача также кончается процедурой извлечения корня из некоторого числа.
 
В «Цзю чжан суань шу» описан другой способ решения квадратных уравнений, который является результатом развития метода извлечения квадратных корней, подобного методу Горнера. Этим методом решается задача № 20 из 9-го раздела данной книги. Правило решения этой задачи является примером того, как процедура извлечения квадратного корня была обобщена на случай решения полного квадратного уравнения типа x² + ax + b = 0. Вывод данного квадратного уравнения и подробный ход его решения в правиле не приведены. Однако используемая терминология свидетельствует о применении в решении алгоритма извлечения корня.
 
Уравнения кубической и более высоких степеней. Первые в Китае решения кубических уравнений, имеющих положительные числовые коэффициенты, были произведены Ван Сяо-туном в VII в., использовавшим тот же метод, каким ранее китайские математики решали квадратные уравнения, т.е. метод, близкий методу Горнера. Только в XIII в. в области решения уравнений наступил дальнейший прогресс. В книге Цинь Цзю-шао «Шу шу цзю чжан» («Трактат о вычислениях в девяти разделах»), изданной в 1247 г., был дан метод вычисления действительных корней алгебраических уравнений любой степени с численными коэффициентами (на практике он решал уравнения до 9-й степени включительно).
 
Греческие и индийские математики, насколько известно, не занимались решениями уравнений высших степеней. В арабо-мусульманской математике кубические уравнения стали решаться в XI в. Первая примечательная работа о них в Европе была сделана Леонардо Пизанским (Фибоначчи) в 1225 г. Решение кубических уравнений он, как и арабы, производил способом, который несколько веков ранее применял Ван Сяо-тун. Можно предположить, что Леонардо Пизанский узнал о правилах решения кубических уравнений во время его многочисленных путешествий по Ближнему Востоку.
 
Обозначение тянь юань. В древнем и средневековом Китае численный метод решения алгебраических уравнений высших степеней назывался, как и метод извлечения квадратного корня, кай фан шу (букв. «правило раскрытия квадрата»). В эпоху Южной Сун он был развит в метод извлечения положительных корней уравнения последовательными сложениями и умножениями – цзэн чэн кай фан фа. Затем были изобретены обозначение неизвестного тянь юань и метод построения с ним уравнений высших степеней на счетной доске, а также соответствующей их записи. Следующим шагом стало решение систем высших уравнений по методу сы юань шу.
 
Все это было большим прогрессом для того времени. Для сравнения, великий танский математик Ван Сяо-тун, чтобы составить кубическое уравнение, должен был обратиться к словесной записи с геометрическими аналогиями. В результате у него выработался достаточно тяжелый стиль изложения, который мешал читателю следовать его рассуждениям. При необходимости решать все более сложные практические задачи было важно найти более простую формулировку уравнений. Таким образом, со временем назрела необходимость в обозначении тянь юань. Есть сведения, что в эпохи Южной Сун и Юань было множество книг с обозначением тянь юань. Однако, почти все они оказались потерянными. Среди немногих существующих работ по этой теме следует упомянуть книги Ли Е – «Цэ юань хай цзин» и «И гу янь дуань» – и Чжу Ши-цзе – «Суань сюэ ци мэн» и «Сы юань юй цзянь».
 
Метод тянь юань предполагал установление на счетной доске индикатора места, занимаемого неизвестным членом уравнения. Затем составлялись два равных многочлена с данным неизвестным, которые удовлетворяли условиям решаемой задачи. Один многочлен вычитался из другого, чтобы получилось уравнение, равное нулю. Наконец, положительный корень уравнения извлекался методом цзэн чэн кай фан фа. Таким образом, не имеется никакого существенного различия между использованием обозначения тянь юань и способом, которым составляются современные алгебраические уравнения. Но этот способ появился в Европе только в XVI в., т.е. на несколько столетий позже того, как он появился в Китае.
 
Установление символики тянь юань произошло не сразу. Сначала для обозначения положительных и отрицательных показателей степеней неизвестного использовались соответственно два девятеричных набора иероглифов: первый – от тянь [1] («небо») до сянь [1] («бессмертный») и второй – от ди [2] («земля») до гуй [1] («дух»). При этом иероглиф жэнь [1] («человек») был применен для обозначения постоянного члена. Позже символы были сведены к тянь юань и ди юань для положительных и отрицательных показателей степени соответственно, в то время как постоянный термин был обозначен как тай («великое»).
 
В «Цэ юань хай цзин» Ли Е произвел дальнейшее упрощение символики и использовал только тянь юань для обозначения степеней неизвестного. Уравнения он записывал в вертикальных столбцах. При этом Ли Е сначала применил правило размещения положительных показателей степени выше отрицательных и постоянного члена. Позже, в «И гу янь дуань», он полностью изменил правило, помещая отрицательные показатели степени выше положительных и постоянного члена. Например, уравнение x³ + 15x² + 66x – 360 = 0 выглядело бы у Ли Е следующим образом (рис. 15).
 
Поскольку единственного индикатора места было достаточно, то либо неизвестный член маркировался как юань [1], либо постоянный член – как тай. Ли Е, в отличие от Цинь Цзю-шао, не считал, что постоянный член всегда должен быть отрицательным – в его системе записи он мог быть и положительным. Отрицательные числа он обозначал перечеркиванием в низшем значимом разряде.
 
Рис.15-19Дальнейшее развитие метод тянь юань получил в книге Чжу Ши-цзе «Сы юань юй цзянь» («Драгоценное зеркало четырех элементов»), написанной в 1303 г. Он распространил его на системы нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными (сы юань), чем и объясняется название его сочинения. Система обозначений Чжу Ши-цзе имела «квадратный» (фан [1]), или, иначе говоря, матричный характер. Запись этих уравнений отражала расположение коэффициентов на счетной доске. Центральное отделение в матрице было занято свободным членом, который назывался тай. Если свободного члена не было, то там писался этот иероглиф. Термин тянь [1] (x и его степени) писался ниже тай; ди [2] (y и его степени) – налево от него; жэнь [1] (z и его степени) – направо; у («вещь», u и его степени) – выше (рис. 16).
 
В любом прямом (по горизонтали и вертикали) направлении от тай первая ячейка матрицы была предназначена для вставки коэффициента при неизвестном первой степени, вторая – квадратной, третья – кубической, четвертая – четвертой степени и т.д. Например, выражение x + y + z + u = 0 записывалось Чжу Ши-цзе следующим образом (рис. 17).

При наличии четырех неизвестных, в принципе, может иметься шесть их произведений. Для коэффициентов при четырех их них, образуемых соседними неизвестными, – xy, xz, uz, uy – были предназначены первые ячейки в соответствующих направлениях по диагонали от тай. Коэффициенты произведений, образуемых противопоставленными по матричной записи неизвестными ux и zy, следовало поместить в виде маленьких знаков в ячейку с тай. Туда же можно было поместить коэффициенты при тройных сочетаниях xyz, yzu, zuy, uyx. Например, запись Чжу Ши-цзе уравнения x² + y² + z² + u² + 2xy + 2xz + 2xu + 2yu + 2yz + 2zu = 0 осуществлялась следующим образом (рис. 18).
 
Когда имелись не четыре неизвестных, а два или три, следовало использовать сокращенную матрицу (методы эр юань или сань юань). При этом, например, при двух неизвестных иероглиф тай будет находиться в углу матрицы. Так, запись выражения 2y³ – 8y² – xy² + 28y + 6yx – 2x – x² = 0 будет следующей (рис. 19).
 
Согласно Чжу Ши-цзе, первым шагом метода сы юань шу было исключение неизвестных. Четыре уравнения с четырьмя неизвестными должны были быть сведены к трем уравнениям с тремя неизвестными, затем к двум уравнениям с двумя неизвестными и, наконец, к одному уравнению с одним неизвестным, подходящему для извлечения корня методом цзэн чэн кай фан фа. Систематическая обработка правил исключения неизвестных в решении систем уравнений высших степеней была дана только в 1775 г. французским математиком Этьеном Безу (1730–1783).
 
Метод сы юань шу, несмотря на его прогрессивность во время создания, был ограничен возможностями двумерной счетной доски. При этом китайские математики не предприняли никаких попыток формализации уравнений высших степеней с числом переменных, большим четырех.
 
Треугольник Паскаля. По крайней мере в XI в. китайцы уже были знакомы с треугольником для вычисления биноминальных коэффициентов, получившим в Европе название «треугольник Паскаля» и выражающим правило, по которому находятся коэффициенты «биноминального» выражения типа (x + 1), возводимого в различные степени. Способ построения «треугольника Паскаля» несложен. Средние числа в каждой строке, начиная с третьей, образуются за счет сложения двух чисел, стоящих над получаемым числом строкой выше. Так, в четвертой строке: 4 = 1 + 3; 6 = 3 + 3; в пятой строке: 5 = 1 + 4; 10 = 4 + 6, и т.д. (рис. 20). Такое простое правило позволяет легко найти коэффициенты биноминального уравнения типа (1 + х)ⁿ (в общем виде – (a + b)ⁿ), получить которые другим способом затруднительно. 
 
Рис.20Самая ранняя существующая китайская репрезентация треугольника (с 6-й степенью) имеется в сочинении «Сян цзе Цзю чжан суань фа» («Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах”»), написанном Ян Хуем в 1261 г. Однако, как там указано, об использовании треугольной таблицы биноминальных коэффициентов до 6-й степени при решении уравнений писал ранее математик Цзя Сянь (1010–1070) в книге «Хуан-ди цзю чжан суань шу суань фа си цао» («Детальные решения задач из “Девяти разделов правил счета Хуан-ди”»). Книга эта не дошла до нас. Вероятно, треугольник биноминальных коэффициентов был сначала описан в также потерянной книге «Жу цзи ши со» («Выравнивание скопившегося и развязывание связанного») другим математиком, Лю Жу-се, который, возможно, был современником Цзя Сяня. Данный треугольник также приводится в книге «Сы юань юй цзянь» («Драгоценное зеркало четырех элементов»), написанной Чжу Ши-цзе в 1303 г., причем автор говорит о нем как о древнем методе.
 
Изображение чисел в треугольнике из книги Чжу Ши-цзе позволяет предположить, что его основание первоначально стояло вертикально слева. Таким образом, коэффициенты биноминального уравнения каждой степени будут располагаться столбцами, подобно тому, как начиная с ханьских вре-мен «записывались» уравнения на счетной доске. Если же предположить, что первоначально основание треугольника размещалось не вертикально, а под углом в 45^о, то можно увидеть аналогию между треугольником Паскаля и обозначением тянь юань, точнее, сокращенным обозначением эр юань. Действительно, если взять две переменных, ди [2] (x) и тянь [1] (y), то разложения бинома (x + y)ⁿ могут быть записаны по диагонали сокращенной матрицы, образуя «наращиваемое» уравнение (x + y)¹ + (x + y)² + ... + (x + y)ⁿ. Так, например, для степени n = 4 получится следующий набор: (x + y) + (x² + 2xy + y²) + (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) + (x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴) = 0 (рис. 21). Отсюда кажется довольно вероятной гипотеза, что треугольник биноминальных коэффициентов был порожден в Китае в процессе формирования метода тянь юань.
 
В Европе треугольник биноминальных коэффициентов был открыт в 1527 г. – в этот год была издана «Арифметика» Петруса Апиануса, на титульном листе которой он и был изображен. Блез Паскаль (1623–1662) описал его в 1654 г. в «Трактате об арифметическом треугольнике», изданном посмертно в 1665 г., приблизительно 500 годами позже его применения в Китае. Еще ранее, около 1000 г., метод расчета бинома четвертой степени был знаком иранскому математику аль-Караджи (ум. ок. 1030). В Индии треугольник биноминальных коэффициентов использовали уже во II в. до н.э., но не для разложения степени двучлена, а в некоторых комбинаторных задачах. Возможно, в Китае этот треугольник первоначально также применялся в комбинаторике в контексте нумерологического «учения о символах и числах» (сяншучжи-сюэ), где он задает структуру набора гексаграмм (гуа [2]) «Чжоу и», т.е. «Канона перемен» («И цзин»). древней Полное их количество равно числу 26. При замене прерывистой и сплошной черт буквами a и b получится «уравнение», выражающее посредством коэффициентов количество гексаграмм, которые имеют соответствующее степени количество указанных черт:
 
(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶.
 
Геометрия
 
Определения моистов. Известно, что дедуктивная геометрия была главной особенностью греческой математики. Китайская же математика была направлена на развитие алгебры. Дедуктивная геометрия ей была чужда. Однако в методологическом разделе «Мо-цзы»  – сочинении поздних моистов (мо-цзя) «Мо цзин» [1] («Канон моистов»/«Моистский канон»), датирующемся около 330 г. до н.э. и являющемся современным Евклиду, имеются некоторые геометрические определения, которые могли бы привести к возникновению дедуктивной геометрии, сходной с евклидовой. Там, в частности, сказано: «точка» (дуань [1]) – это «предельный конец [отрезка]», «часть [отрезка], которая не имеет частей»; одинаковость длины – это когда длины двух отрезков «исчерпываются в одном и том же месте», что подобно, как уточняется в «разъяснении» (шо), «вертикальной задвижке, установленной заподлицо с краем двери»; круг (юань [4]) – это фигура, в которой «один центр и одина-ковая длина» и которая «описывается циркулем»; прямоугольник (фан [1]) «имеет четыре равных угла», что «проверяется угольником» и т.д. Поскольку «Мо цзин» [1] дошел до нас в очень испорченном и фрагментарном состоянии, невозможно оценить, насколько моисты пошли дальше подобных определений. Однако очевидно, что их геометрия не вышла за пределы школы, фактически переставшей существовать к кон. III в. до н.э., и не имела серьезного влияния на общий ход развития китайской математики.
 
Вычисление площадей и объемов. В «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») в 1-ом разделе под названием «Фан тянь» (букв. «Квадрирование полей») даются алгоритмические предписания для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, трапеции, круга, кругового сегмента, сектора и кольца. Дедуктивные методы для объяснения способов получения этих алгоритмов не использовались. Видимо, они создавались эмпирически на основе сложных моделей, которые можно было разложить на простые.
 
В «Цзю чжан суань шу» алгоритма для вычисления площади параллелограмма нет. Это нельзя объяснить тем, что в практике китайцев, возможно, не встречались поля такой формы, ведь и кольцевые поля являются весьма экзотическими. Вероятно, авторы предполагали, что, зная как вычислять площадь прямоугольника и трапеции (или треугольника), легко догадаться как вычислить площадь параллелограмма. В задаче № 25 вводится необходимое для этого понятие чжэн цзун (букв. «прямая длина»), которое означает высоту. Площадь параллелограмма, как известно, равна произведению основания на высоту.
 
Основные правила измерения объемов изложены в пятом разделе «Цзю чжан суань шу», называющемся «Шан гун» («Оценка работ»). Они показывают, что математики древнего Китая хорошо умели вычислять объемы фигур, встречающихся в строительстве. Если в Греции уделялось большое внимание правильным многогранникам, то в Китае они не вызывали интереса, видимо, потому, что, за исключением куба, такие фигуры не использовались в практической деятельности. При этом китайцы могли измерять объемы сложных геометрических тел, которых не касались вавилонские, египетские и греческие математики. Такие тела разбивались на параллелепипеды, призмы и пирамиды, объемы которых суммировались при вычислении общего объема. В «Цзю чжан суань шу» даются правила вычисления и для круглых тел – цилиндра, конуса и усеченного конуса. Также авторы этой книги знали, как вычислять объем шара. Методы вычисления объемов геометрических тел получили дальнейшее развитие в комментариях Лю Хуя к «Цзю чжан суань шу» и в книге Ван Сяо-туна «Ци гу суань шу» («Следующие древности правила счета»), в которой решаются задачи, посвященные, главным образом, расчетам объема зернохранилищ или таких сооружений, как дамбы, плотины, каналы и проч.
 
Теорема Пифагора. В настоящее время неясна степень древности знаний китайцев о теореме Пифагора. Письменная формулировка последней впервые в Китае дается в «Счетном каноне о чжоуском гномоне» («Чжоу би суань цзин»), появившемся в эпоху Сражающихся царств. В 1-ом цзюане сочинения приводится беседа Чжоу-гуна, младшего сына Вэнь-вана (XII–XI вв. до н.э.), и специалиста по математике Шан Гао. Чжоу-гуна интересовали методы измерения величин таких объектов, к которым «нельзя приложить линейку», например, Земли. Шао Гао указал, что для этого можно использовать прямоугольный треугольник (цзюй [1]) с большим и меньшим катетами (гу [8] и гоу [3], букв. «бедро» и «крюк»), равными соответственно 4 и 3 каким-либо единицам. Гипотенуза (цзин цзюэ, букв. «поперечина угла») у такого треугольника будет равна 5 единицам. Данное утверждение не доказывается. Говорится еще о построении квадратов (фан [1]) на сторонах треугольника. Затем указывается, что суммарная площадь квадратов, построенных на катетах, равна 25, а квадрат, построенный на гипотенузе, имеет площадь, также равную 25. Действительно: 4 х 4 = 16; 3 х 3 = 9; 16 + 9 = 5 х 5 = 25. Из всего этого следует, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
 
В «Цзю чжан суань шу» 9-ый раздел под названием «Гоу гу» полностью посвящен задачам, в которых используется теорема Пифагора. В частности, там приводится задача «надломленного бамбука» (№ 13). Суть ее в следующем. Бамбуковый стебель высотой в 1 чжан [4] (1 чжан [4] = 10 чи [1] = 2,765 м) надломили и верхнюю часть пригнули к земле так, что вершина оказалась на расстоянии 3 чи [1] от корня. Спрашивается, на какой высоте был надломлен бамбук. В правиле решения этой задачи указывается, что надо «расстояние от корня (меньший катет) умножить само на себя», а затем «объединить с высотой», т.е. разделить на высоту (которая представляет собой сумму гипотенузы и большего катета). Затем, «то, что получилось», т.е. эту дробь, надо вычесть из высоты. Искомая величина будет равняться «половине остатка». Таким образом, если а и b – меньший и больший катеты (гоу [3] и гу [8]), а с – гипотенуза (здесь она называется сянь [7] – «тетива»), то искомая величина b = [(с + b) – а²/(c + b)]/2. Ответ: 4¹¹/₂₀ чи [1].
 
Первое в истории китайской математики письменное доказательство теоремы Пифагора приведено в комментариях к «Чжоу би суань цзину», написанных в III в. Чжао Цзюнь-цином (Чжао Шуан). «Метод гоу-гу», как называется в них теорема Пифагора, объясняется алгебраически (на словах) и посредством чертежа. Доказательство отличается от евклидова и совпадает с доказательством индийского математика Бхаскары (1114–1178). В Европе подобное доказательство впервые встречается в трудах английского математика Джона Валлиса (1616–1673).
 
«Чертеж для гипотенузы», как его назвал Чжао Цзюнь-цин, представляет собой квадрат, построенный на гипотенузе (с). В квадрат вписаны четыре прямоугольника, у которых совмещаются меньший (а) и больший (b) катеты. При этом остатки на больших катетах (b – а) образуют стороны маленького квадрата, находящегося в центре чертежа. У Чжао Цзюнь-цина чертеж был окрашен: маленький центральный квадрат являлся желтым, а окружающие его прямоугольники – красными. Площадь большого квадрата можно представить как сумму площадей четырех треугольников и маленького квадрата: c² = 2ab + (b – a)². Из этой формулы и получается известное соотношение между сторонами прямоугольника: c² = 2ab + b² – 2ab + a² = b² + a².
 
Со временем китайцы стали развивать алгебраические методы для обнаружения любой неизвестной стороны или угла прямоугольного треугольника. Однако во всей китайской истории интерес к теореме Пифагора был, главным образом, практический – ее применяли, например, в геодезии.
 
Метод чун ча. В развитии китайской практической геометрии видное место занимает сочинение «Хай дао суань цзин» («Счетный канон морского острова»), написанное в III в. Лю Хуем. Оно посвящено методам определения размеров недоступных объектов и расстояний до них. В трактате содержится десять задач с решениями. Первая задача, в которой речь идет об измерении высоты морского острова и расстояния до него, дала название всему сочинению. В других задачах определяются высота сосны, растущей на холме, и расстояние до нее, размер стороны квадратной городской стены удаленного города и расстояние до него, глубина ущелья, высота башни, находящейся на ровном месте и наблюдаемой с холма, ширина устья реки, глубина прозрачного пруда, ширина переправы, наблюдаемой с холма, размеры прямоугольной городской стены города, видимого с горы.
 
Для решения этих задач Лю Хуй применяет метод чун ча, название которого – «двойная разность» – указывает, что в нем используется отношение двух измеренных разностей, полученное на основании подобия прямоугольников. В разных задачах требуется от двух до четырех измерений. Измерения проводятся с помощью либо пары шестов (бяо [1]), либо пары угольников (цзюй [1]) или бечевки (со [2]).
 
Способ решения первой задачи полностью раскрывает суть метода чун ча. В задаче говорится о наблюдении морского острова с помощью пары шестов, имеющих высоту 3 чжана [4] и установленных на материке по одной прямой на расстоянии друг от друга в 1000 бу [6]. Чтобы при наблюдении с поверхности земли верхний конец ближайшего к острову шеста совпал с его вершиной, точка наблюдения должна лежать на расстоянии 123 бу [6] от этого шеста. Для второго шеста такая точка находится на расстоянии 127 бу [6] от него. Ищется высота острова и удаленность от него ближайшего шеста. Ответ: 4 ли [10] 55 бу [6] и 102 ли [10] 150 бу [6] (здесь 1 ли [10] = 300 бу [6]).
 
Рис.22В подлиннике, дошедшем до нас, нет чертежей для всех задач, но, возможно, первоначально они имелись. Лю Хуй предлагает следующий способ решения. Чтобы получить высоту острова (x), надо умножить высоту шестов (h) на расстояние между ними (k) и разделить на «взаимное превышение» (сян до), т.е. разность расстояний от точек наблюдения до связанных с ними шестов (n – m), и к этой дроби прибавить высоту шестов (h) (рис. 22). Чтобы найти требуемое расстояние (y), надо расстояние от ближайшего к острову шеста до связанной с ним точки наблюдения (m) умножить на расстояние между шестами (k) и разделить на «взаимное превышение» (n – m).
 
Запись в формулах будет следующая:
 
x = hk/(n – m) + h,
y = mk/(n – m).
 
Отношение k/(n – m) и будет называться «двойной разностью».
 
Иллюстрация правила измерения высоты пагодыДанные формулы получаются из отношений (x – h)/h = y/m = k/(n – m), которые следуют из подобия прямоугольных треугольников ABC и CFG, а также непрямоугольных треугольников ACD и DIJ (сторона DI последнего треугольника получена за счет параллельного переноса отрезка CG на расстояние k от первого шеста ко второму, из-за чего отрезок IJ будет равен n – m). Задачи на расчет расстояний до объектов и их размеров встречаются у китайских авторов, писавших после Лю Хуя. Например, у Сунь-цзы [2] это задача № 25 в 3-ем разделе, а у Чжан Цю-цзяня – задачи № 12, 14 и 15 из 1-го раздела. Однако дальнейшее развитие метода чун ча было произведено только Цинь Цзю-шао, в трактате которого «Шу шу цзю чжан» ему посвящено 9 задач, отличающихся от задач Лю Хуя большим разнообразием в отношении учитываемых измерений и, в отдельных случаях, большей сложностью. Решая их, Цинь Цзю-шао частично сохранил терминологию Лю Хуя.

Вычисление значения числа «пи». Хотя имеются сведения, что древние египтяне и вавилоняне имели значения «пи» ²⁵⁶/₈₁ = 3,16049... и ²⁵/₈ = 3,125 (современная величина «пи» – 3,1415926536...), в древних цивилизациях было более распространено принимать это отношение диаметра круга к его окружности как 3. Если в сочинении «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») число «пи» принимается также равным 3 (исключением являются задачи № 23 и 24 из 4-го раздела, где, судя по расчетам, «пи» = ²⁷/₈ = 3,375), то в дальнейшем одной из важных задач для математиков Китая было получение как можно более точного его (юань чжоу люй – букв. «коэффициент окружности круга») значения, хотя и указанное приближенное значение «пи» сохранялось в течение столетий. Древнее значение числа «пи» = 3 называлось гу люй («древний коэффициент»), а последующие уточнения стали называться ми люй («точный/сокровенный коэффициент»).
 
Китайцы значительно отстали от древнегреческих ученых как в постановке проблемы числа «пи», так и в конкретных попытках ее решения, которые производил в III в. до н.э. Архимед в работе «Измерение круга». Он получил два неравенства для оценок числа «пи»: ²²³/₇₁ < «пи» < ²²/₇. В десятичных дробях: 3,140845... < «пи» < 3,142857... Архимед доказал эти неравенства при помощи вписанных и описанных правильных многоугольников (n = 6, 12, 24, 48, 96). Последовательность периметров описанных многоугольников дает верхний предел отношения, а вписанных – нижний. Можно еще упомянуть александрийского ученого Птолемея, который во II в. н.э. ввел «пи» = ³⁷⁷/₁₂₀ = 3,14166...
 
Первые попытки уточнения «пи» были сделаны в Китае в 1–5 гг. н.э., когда Лю Синь изготовил для Ван Мана, бывшего в то время главным мини-стром при императоре Пин-ди, «бронзовый [сосуд] ху [6]», представляющий собой конструкцию из трех эталонных цилиндрических сосудов (два из которых состояли из двух секций), задающих меры емкости, а также единицы длины, площади и звуковой высоты. Не сохранилось никаких записей о том, какое значение «пи» использовал Лю Синь при расчете данного ху [6]. Однако на образующем его самом большом сосуде была сделана надпись, согласно которой это значение можно вычислить: «Образцовая прекрасная мера ху [6] (люй цзя лян ху) – это квадрат в 1 чи [1], описанный вокруг него круг с зазором сбоку 9 ли [14] 5 хао [1] и площадью 162 цуня [2], глубина 1 чи [1], объем 1620 цуня [2], емкость 10 доу». Отсюда, учитывая, что 1 чи [1] = 10 цуням [2] = 100 фэням [1] = 1000 ли [14] = 10000 хао [1], следует полагать, что диаметр круглого дна с площадью (S) в 1,62 квадратный чи [1] равен сумме диагонали (d) квадрата, имеющего сторону в 1 чи [1], и двух «зазоров» (z) в 0,0095 чи [1]. Таким образом, «пи» = 4S/(d + 2z)² = 6,48/(d + 0,019)². Если брать современную величину диагонали квадрата (√2 = 1,41421...), то по этой формуле «пи» будет равно 3,15466..., а если взять значение ⁷/₅ = 1,4, которое использовалось в то время китайцами для ее приблизительного выражения, то «пи» = 3,21827... Не исключено, что Лю Синь брал в качестве «пи» какую-либо недесятичную дробь, имеющую промежуточное значение, например, ¹⁶/₅ (= 3,2).
 
В приписываему известному ученому Чжан Хэну комментарии к задачам № 23 и 24 из 4-го раздела «Цзю чжан суань шу» дается расчет более точной величины объема сферы (V = 5D³/₈), исходя из которого видно, что используется «пи» = √10 (= 3,16227...). Это значение «пи» применяли также математики Брахмагупта (VII в.) и аль-Хорезми (IX в.). В сочинении Чжан Хэна «Лин сянь» («Законы одухотворения»/«Законы [действия] животворных сил», рус. пер.: Р.В. Вяткин, 1990), изданном в 118 г., затем утраченном и воспроизводимом, в частности, по комментариям к астрономической главе «Тянь вэнь чжи» в «Хоу Хань шу» («Книга о [династии] Поздней Хань»), указывается, что приблизительно одинаковые видимые диаметры (цзин [8]) Солнца и Луны соответствуют ¹/₇₃₆ «окружности Неба» (тянь чжоу ) и ¹/₂₄₂ «ширины Земли» (ди гуан), т.е., согласно А.И.Кобзеву, диаметру небесной окружности, проходящему через центр земли. На основании этих чисел можно получить следующую величину «пи»: ⁷³⁶/₂₄₂ = 3,04132… В компендиуме Цюйтань Сида (Гаутама Сидхартха) «Кай-юань чжань цзин» («Астрологический канон [периода] Кай-юань») есть ссылка на этот результат Чжан Хэна с отличающейся величиной, относящейся к «ширине Земли»: 232 вместо 242, что влечет за собой более точное значение «пи»: ⁷³⁶/₂₃₂ = ⁹²/₂₉ = 3,17241… и, по наблюдению А.И.Кобзева, примечательно нумерологичностью пары чисел 92 и 29, получаемых при делении 736 и 232 на нумерологическое 8 (ср. ба гуа – «восемь триграмм», ба цзи – «восемь пределов 2 и т.п.): они «зеркальны» в разрядах единиц и десятков. По мнению Цянь Бао-цуна, Чжан Хэн располагал еще более точным значением «пи». В его реконструкции данной цитаты из «Лин сянь», первоначально речь шла о числах 730 и 232, а не о 736 и 242, откуда «пи» = ⁷³⁰/₂₃₂ = 3,14655…
 
Рис.23Есть сведения, что в эпоху Троецарствия (Сань-го, 220–280) ученый и полководец Ван Фань (ум. 267) из царства У вычислил «пи» как ¹⁴²/₄₅ (= 3,15555...). В тот же период Лю Хуй касался проблемы вычисления «пи» в комментариях к двум задачам (№ 31 и 32) 1-го раздела «Цзю чжан суань шу» (рус. пер.: Э.И. Березкина, 1974). При решении этих задач Лю Хуй предлагает брать «пи» = ¹⁵⁷/₅₀ = 3,14. Это значение он получил, вписывая в круг правильные многоугольники с 6, 12, 24, 48, 96 и 192 сторонами и выстраивая на их основе некую ступенчатую фигуру, дающую «верхнюю» оценку площади круга (рис. 23). При этом он исходил из соображения, что при увеличении числа сторон вписанного многоугольника, когда делить эти стороны из-за их малости станет уже невозможным, его периметр «совпадет телесно» (хэ ти) с окружностью, а его площадь и площадь ступенчатой фигуры станут равными площади круга. По сути дела, этими соображениями Лю Хуй ввел в китайскую математику понятие предела.
 
Для расчета «пи» Лю Хуй берет круг с радиусом равным 1 чи [1], полагая, что площадь (ми [3]) этого круга будет равна 100 «пи» в цунях [2]. Площади 96- и 192-угольника у него получаются равными соответственно 313⁵⁸⁴/₆₂₅ и 314⁶⁴/₆₂₅ цуня [2]. На основе этих величин Лю Хуй находит «разностную площадь» (ча ми): 314⁶⁴/₆₂₅ – 313⁵⁸⁴/₆₂₅ = ¹⁰⁵/₆₂₅ цуня [2]. «Верхнюю» оценку площади круга он получает, суммируя площадь 96-угольника и удвоенную «разностную площадь»: ²⁰⁵/₆₂₅ + 314⁵⁸⁴/₆₂₅ = 315¹⁶⁹/₆₂₅ цуня [2]. Геометрически это соответствует построению на сторонах 96-угольника прямоугольников, основания которых равны по длине сторонам, а высоты – «остатку диаметра» (юй цзин), т.е. расстоянию от средины стороны до окружности. Таким образом, величина «пи» определяется из неравенства 314⁶⁴/₆₂₅ < 100 «пи» < 315¹⁶⁹/₆₂₅, которое в десятичных дробях будет следующим: 3,141024 < «пи» < 3,152704. Лю Хуй, видимо, понимая, что первое значение ближе к действительному, берет его в качестве точного коэффициента ми люй, сокращая до целых цуней [2], что дает «пи» = ³¹⁴/₁₀₀ = ¹⁵⁷/₅₀.
 
В комментариях Лю Хуя приводится еще одно значение «пи». Хотя текст, касающийся его нахождения, достаточно туманен и, видимо, претерпел искажения, можно предположить, что на этот раз Лю Хуй идет по пути нахождения «пи» как некой промежуточной величины между полученными ранее «нижним» и «верхним» его значениями. К площади 192-угольника (314⁶⁴/₆₂₅) он добавляет каким-то образом найденную им величину ³⁶/₆₂₅ (возможно, дело не обошлось без нумерологической подгонки к основополагающим числам Неба и Земли – 6 и 5: 36=6², 625=5⁴) и получает площадь круга 314¹⁰⁰/₆₂₅ = 314⁴/₂₅. Учитывая, что площадь круга в его вычислениях равна 100 «пи», последнее можно выразить в виде дроби ³⁹²⁷/₁₂₅₀, которая в десятичной системе равна числу 3,1416 и отличается лишь на 0,0000073... от действительного значения «пи». Лучшее значение Архимеда имеет отличие 0,00074..., а Птолемея – 0,000074... Следовательно, в III в. китайцы имели значение «пи», которого греки так и не смогли достичь.
 
Значительный шаг вперед в вычислении «пи» совершил Цзу Чун-чжи (V в.). Как отмечается в календарных и астрономических главах «Суй шу» («Книга о [династии] Суй), в трактате «Чжуй шу» («Правила исправлений») он дал приближенное значение «пи», равное среднему между ²²/₇ и ³⁵⁵/₁₁₃ (3,14285714... и 3,14159292... ), и более точное, лежащее между «значением избытка» 3,1415927 и «значением недостатка» 3,1415926 (отличия от действительного – 0,000000046 и 0,000000054). Последние значения, видимо, были получены за счет вписывания в окружность правильных многоугольников с 12288 и 24576 сторонами. Приблизительно в 1300 г. Чжао Ю-цинь, возвратившись к вычислению «пи» и используя многоугольник с 16384 сторонами, подтвердил, что данное Цзу Чун-чжи значение было очень точно. Только в 1573 г. в Европе Адриан Антониш (1543–1607) получил значение «пи», равное одному из ранних значений Цзу, – ³⁵⁵/₁₁₃.
 
Элементарная теория чисел и комбинаторный анализ
 
Четные и нечетные числа. Во всех древних культурах математические знания включали в себя элементарные аспекты теории чисел, развиваемые в атмосфере числового мистицизма и нумерологии. Благодаря ей, например, у греков появились понятия четных и нечетных чисел, фигурных чисел, простых и составных чисел, дружественных чисел и т.п. В Китае, несмотря на процветание нумерологии, классификация видов чисел была менее богата. В целом детальное углубление в теорию чисел не было характерно для китайской математики, где предпочтение отдавалось конкретным числам, а не числу как таковому.
 
Вероятно, в любой древней культуре прежде всего обращалось внимание на различие между четными и нечетными числами. В Китае это различие было уже известно в эпоху Шан-Инь, когда начали подразделяться на нечетные и четные особые числовые символы, использовавшиеся прежде всего в хронологии, – так называемые циклические знаки. Естественным образом четные и нечетные числа связывались с двумя полами, женским и мужским, и указание на это было найдено, как у пифагорейцев в древней Греции, так и в синхронных им древнекитайских текстах. Китайцы также разделяли широко распространенное суеверие, что нечетные числа были счастливыми, а четные – несчастливыми.
 
Одним из первых китайских текстов, где фиксируется учение о нечетных (цзи [22]) и четных (оу) числах, является теоретический раздел «Чжоу и» – «Си цы чжуань» («Предание привязанных афоризмов»/«Комментарий к присоединенным изречениям», I, 10), написанный, вероятно, в IV–III вв. до н.э. Эти числа различаются там как янские и иньские, а значит, связанные с космическими силами тянь [1] и ди [2] («Небо» и «Земля»). Поэтому для первых десяти чисел натурального ряда дается следующая корреляция: «Небо – 1; Земля – 2; Небо – 3; Земля – 4; Небо – 5; Земля – 6; Небо – 7; Земля – 8; Небо – 9; Земля – 10». В другом чжане [1] этого же сочинения (I, 8) указывается, что пятерки этих «небесных» и «земных» чисел составляют в сумме соответственно 25 и 30. Здесь представлен первый в Китае пример суммирования числовых рядов. Неизвестно, знали ли китайцы известное грекам правило, что сумма нечетных чисел всегда является квадратом.
 
Магические квадраты. Китайцы с древности интересовались комбинаторным анализом и построением магических таблиц или схем, т.е. таких числовых структур, для которых выполняется правило одинаковости сумм, получающихся при определенных правилах сложения. Видимо, в этой области китайцы были новаторами. Самыми древними подобными схемами считаются Ло шу и Хэ ту.
 
Рис.24Согласно древнекитайской легенде, император Фу-си  увидел Ло шу («Писание [из реки] Ло») на панцире огромной черепахи, появившейся из реки Ло, а Хэ ту («Чертеж/План [из Желтой] реки») – на боку «дракона-лошади» (лун ма), появившегося из реки Хуанхэ. По другой версии, эти схемы предстали перед очами Великого Юя (Да Юй). Первые письменные упоминания о Ло шу и Хэ ту относятся к эпохе Западного Чжоу. Изображения этих схем, относящиеся к данному времени, до нас не дошли. Конкретных описаний также нет. Например, в «Лунь юе» (IX, 8) Конфуций только сетует, что в его время уже «и феникс (фэн [2]) не прилетает, и чертеж (ту [2]) не выходит из Реки (хэ)». В «Си цы чжуани» (I, 11) данным схемам посвящены следующие слова: «Из Реки вышел чертеж, из Ло вышли письмена. Совершенномудрые берут их за образец (цзэ [1])». В «Чжуан-цзы» («[Книга] учителя Чжуана», IV–III вв. до н.э.; см. Чжуан-цзы) Ло шу рассматривается как некая девятеричная схема, благодаря которой «осуществляются жизненные свойства вещи» (пер. В.В. Малявина). В эпохи Пять династий (У дай) и Сун (X–XIII вв.) в Китае появилось несколько схем, которые отождествлялись с древними Ло шу и Хэ ту. Ло шу и Хэ ту в том виде, как они известны в настоящее время, были опубликованы в трактате сунского ученого Чжу Си (1130–1200) «Чжоу и бэнь и» («Основной смысл “Чжоу и”»). Схема Ло шу – это магический квадрат, т.е. квадратная матрица (n х n) целых чисел от 1 до n², удовлетворяющая условию, что суммы чисел по двум большим диагоналям, а также в любом столбце и любой строке равны одному и тому же числу S = n(n² + 1)/2. Древний Ло шу представляет собой магический квадрат третьего порядка, в котором сумма трех чисел в любом из указанных направлении равна 15 (рис. 24).
 
Схему Хэ ту можно определить как «магический крест». Это схема, в которую входят десять чисел, обозначаемых светлыми (нечетные) и темными (четные) кружками. Располагаются они таким образом, что в центре и по четырем направлениям пространства разность двух чисел равна пяти (рис. 25). Кроме того, при исключении центральной пары с числами 5 и 10 оба четных и нечетных набора остальных чисел равны каждый 20. Видимо, при создании данной схемы чисто математическими закономерностями руководствовались в меньшей степени, чем коррелятивными (нумерологическими), и ее главная задача – отражение пространственных корреляций пяти стихий-син [3], выраженных через их числа: вода – 1 и 6 на севере, огонь – 2 и 7 на юге, дерево – 3 и 8 на востоке, металл – 4 и 9 на западе, почва – 5 и 10 в центре.
 
С I в. н.э. стали появляться апокрифические трактаты, в которых древние диаграммы представлялись ядром магических доктрин. В некоторых их них можно обнаружить знание Ло шу. Так, в апокрифическом ицзинистском трактате «Цянь цзо ду» («Проникновение в свойство [гуа] Цянь [6]»), который относится к I–II вв. н.э. и был прокомментирован Чжэн Сюанем (127–200), пишется, что для силы ян [1] характерно изменяться от 7 до 9, а для силы инь [1] – от 8 до 6. Эти числа, принимаемые «Великим Единым» (тай и), «движутся (син [3]) среди девяти залов» (цзю гун), и «по четырем сторонам света (чжэн [1]) и по четырем промежуточным направлениям (вэй [13]) они в сумме равны 15». Упомянутые здесь «девять залов», по традиции, находящиеся в Мин тане (букв. «Пресветлый зал», ритуальный комплекс для молений Небу и приема правителем подданных с целью оглашения им своих приказов и назначения пожалований, а также соответствующая схема), – это девять клеток магического квадрата, как указывается у позднейших комментаторов.
 
В сочинении «Да Дай ли цзи» («Записки старшего Дая о ритуале/благопристойности»), написанном около 80 г. н.э., «девять залов» (цзю гун) наделяются численными значениями, записанными в порядке 2, 9, 4, 7, 5, 3, 6, 1, 8. Если разбить данный ряд на тройки и разместить их по клеточкам девятиклеточного квадрата справа налево и сверху вниз, то обнаружится числовая структура Ло шу. В написанном около 570 г. Чжэнь Луанем комментарии к «Шу шу цзи и» («Заметки для потомков о правилах вычислений»/«Аритмологический мемуар»), принадлежащему как будто ханьскому Сюй Юэ, говорится о числовой структуре «девяти залов» (цзю гун) следующим образом: «2 и 4 управляют плечами (цзянь [19]), 6 и 8 управляют ногами (цзу [2]), 3 – слева (цзо), 7 – справа (ю [9]), 9 накрывает [голову] (дай [2]), 1 попирается [ногами] (ли [15]), 5 пребывает в центре (чжун-ян)». Все эти числа скрепляются «троицей и пятерицей», т.е., видимо, числом 3 х 5 = 15, которое содержится в данном магическом квадрате.
 
Рис.25,25Только в XIII в. магические квадраты, или, как они назывались, цзун хэн ту («продольно-поперечные чертежи/схемы/планы»), стали изучаться как математические объекты. Начало этому положил в 1275 г. Ян Хуй в своем сочинении «Сюй гу чжай ци суань фа» («Преемственное древности раскрытие редких методов счета»). Он рассматривал магические квадраты не только третьего, но и других порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила их построения. Например, согласно этому ученому, простой магический квадрат четвертого порядка можно построить, если числа от 1 до 16 поместить по порядку в четырех столбцах и четырех строках квадратной матрицы, а затем числа в углах внутреннего и внешнего квадратов переставить по диагонали (рис. 26). Получится магический квадрат, в котором все столбцы, строки и диагонали составляют в сумме 34.
 
Работу Ян Хуя продолжил в 1593 г. Чэн Да-вэй, написавший трактат «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета»), в котором даны 14 магических квадратов. Еще несколько таких квадратов построили Фан Чжун-тун в 1661 г. и Чжан Чао в 1670 г.
 
После XVII в. китайские математики также интересовались подобными аспектами математики, так что в итоге в конце XIX в. одаренный любитель-математик Бао Ци-шоу смог издать книгу «Би-най шань фан цзи» («Записки Би-ная из горной хижины»), которая содержала трехмерные магические квадраты («магические кубы»).
 
Указанные выше датировки магических квадратов позволяют сделать выводы о приоритете Китая в их создании. Греческий математик Теон Смирнский в своем комментарии к сочинениям Платона, написанном приблизительно в 130 г., только коснулся первых девяти чисел, расположенных в форме квадрата, но не рассматривал магический квадрат, как считали ранее некоторые историки. В IX в. магический троичный квадрат, аналогичный Ло шу, стал играть чрезвычайно важную роль в арабской алхимии. Первым мусульманским ученым, который рассматривал его, был Табит ибн Курра (836–901). Самое раннее упоминание о магических квадратах в христианской Западной Европе относится к XV в., когда в одном из герметических сочинений был приведен квадрат из 25 клеточек. В 1514 г. Альбрехт Дюрер выпустил гравюру «Меланхолия», на которой нарисован квадрат из 16 клеточек (в его нижней стороке, кстати, рядом помещаются числа 15 и 14, составляющие вместе дату создания гравюры). В 1654 г. Паскаль написал специальный трактат о магических квадратах.
 
Числовые ряды и прогрессии. Насколько известно, первый расчет арифметического ряда был произведен древними египтянами ок. 1700 г. до н.э. Числовые ряды и прогрессии также изучались древнегреческими математиками. Они были найдены в индийских и арабо-мусульманских сочинениях. Надо думать, что с начальных этапов развития китайской математики в ней также имелся некоторый интерес к различным числовым рядам.
 
Арифметические и геометрические прогрессии, т.е. последовательности чисел с постоянной разностью или постоянным знаменателем любых двух соседних членов, использовались китайцами в задачах на пропорциональное деление. Входящие в эти прогрессии числа назывались цуй («ступенями»). Задачам на прогрессии частично (первые семь задач) посвящен 3-й раздел «Цзю чжан суань шу» под названием «Цуй фэнь» («Деление по ступеням»). Например, в первой его задаче предлагается распределить 5 оленей между 5 чиновниками согласно их рангу. Предполагается, что ранговая лестница может быть выражена численно как арифметическая прогрессия в обратном порядке: 5, 4, 3, 2, 1. Надо получить его сумму = 15. Затем число того, что распределяется, надо умножить на число ранга и разделить на указанную сумму. В итоге дай фу должен получить 1²/₃ оленя, бу гэнь – 1¹/₃, цзянь няо – 1, шан цзао – ²/₃, гун ши – ¹/₃. В книгах «Цзю чжан суань шу» (III, 4) и «Сунь-цзы суань цзин» содержится задача о ткачихе, которая удваивает продукцию предыдущего дня и производит 5 чи [1] ткани за пять дней. Спрашивается, сколько ткани производится ежедневно? Здесь рассматривается геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16. Процедура решения аналогична предыдущей. Сумма ряда = 31. В первый день ткачиха производит 1¹⁹/₃₁ цуня [2] ткани, а в остальные – в соответствии с прогрессией.
 
В I в. н.э. китайцам было известно, что набор из 271 счетной палочки в шестигранной (лю гу) связке является примером не только фигурного числа, но и арифметической прогрессии. Если взять шестигранные палочки, то во-круг одной можно разместить 6 других, вокруг последних – 12 и т.д. каждый раз с прибавлением 6 палочек. При девяти размещенных слоях получится указанное число палочек в связке (1 + 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 42 + 48 + 54 = 271).
 
В последнем разделе сочинения Сунь-цзы [2] приводится забавная задача-загадка (№ 34). Спрашивается, сколько всего упомянуто, если на каждой из 9 плотин по 9 деревьев, на каждом из которых по 9 ветвей, на каждой из которых по 9 гнезд, в каждом из которых по 9 птиц, у каждой из которых по 9 птенцов, у каждого из которых по девять перышек, каждое из которых имеет 9 расцветок. Ответ: деревьев – 81, ветвей – 729; гнезд – 6561; птиц – 59049; птенцов – 531441; перьев – 4782969; расцветок – 43046721. По сути дела, здесь идет речь о прогрессии со знаменателем 9.
 
Много внимания прогрессиям уделяет Чжан Цю-цзянь в «Чжан Цю-цзянь суань цзине» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня»), используя другой термин для числовых ступеней – ча [3] (букв. «ранг»). Он первым в китайской математике ввел правило получения суммы и разности арифметической прогрессии и решил в общем виде задачу отыскания числа членов арифметической прогрессии. Подобными задачами занимался Цинь Цзю-шао. Кроме того, он исследовал такие задачи на арифметические прогрессии, которые требовали решения квадратных уравнений.
 
Шэнь Ко в «Мэнси би тань» («Записки из Мэнси») решает задачу на суммирование рядов. Он рассматривает усеченную пирамиду, имеющую основанием прямоугольник и разделенную на n слоев, в которые укладываются бутыли (ин [4]). Форма пирамиды такова, что вдоль каждой из двух ее граней в каждом низшем слое образуется бутылей на один ряд больше, чем в высшем. Шэнь Ко приводит без вывода правило получения суммы данного ряда, которое можно выразить следующей формулой: S = (n/6)[(2a + A)b + (2A + a)B + (B – b)], где a и b – количество бутылей в верхнем слое, А и B – в ниж-нем, A = a + n – 1, B = b + n - 1. Как пишет Шэнь Ко, он исходит из правила для вычисления объема усеченной четырехгранной пирамиды (чу тун), приводимого в «Цзю чжан суань шу». Действительно такое правило имеется в 5-м разделе после задачи № 18, и его можно выразить в виде формулы V = (h/6)[(2a + A)b + (2A + a)B], в которой h – высота пирамиды, а, b – верхние ширина и длина, A, B – нижние ширина и длина. Вывод этой формулы был позднее произведен Ван Сяо-туном. Шэнь Ко отмечает, что данную формулу нельзя напрямую применять для расчета пирамиды из бутылей, поскольку она не учитывает те пустоты, что образуются между ними. Чтобы исправить положение, надо к имеющейся формуле, заменив в ней размеры на количества, добавить выражение (n/6)(B – b). Тогда, например, общее количество бутылей в пирамиде из 11 рядов, в которой в верхнем ряде имеется 2² бочонков, а в нижнем – 12², будет следующим: (11/6)[(4 + 12)2 + (24 + 2)12 + (12 -2)] = 649.
 
Через 200 лет после Шэнь Ко математик Ян Хуй привел правила суммирования нескольких видов рядов. Это сделал и Чжу Ши-цзе в самом нач. XIV в. В своем сочинении «Сы юань юй цзянь» («Драгоценное зеркало четырех элементов») он рассматривал ряды, для построения которых подсчитывались связки стрел, уложенных в различные секции типа кругов и квадратов, и шары, собранные в треугольники, пирамиды, конусы и т.д. Это сочинение – пик развития китайского учения о рядах, которое не прогрессировало вплоть до прибытия иезуитов.
 
Комбинаторика. Перестановки и комбинации ассоциируются в Китае в первую очередь с «Чжоу и», или «И цзином» («Канон перемен»), где 8 триграмм (ба гуа) и 64 гексаграммы (лю ши сы гуа) образуются как комбинации прерванных (иньских) и сплошных (янских) черт, размещаемых соответственно в трех и шести позициях. Данная система символов несет в себе богатые комбинаторные возможности, которые можно легко найти и использовать тем или иным образом. Однако серьезного комбинаторного анализа символики «И цзина» в традиционной китайской математике не обнаруживается. Все рассуждения на эту тему не подымаются в ней выше уровня, который представлен Чжэнь Луанем в его «У цзин суань шу» («Правилах счета в “Пятиканонии”»). В этой книге он рассматривает числовые закономерности, связанные с процедурой гадания по «И цзину», в которой построение гексаграмм производится посредством пересчета стеблей тысячелистника, и отраженные в «Си цы чжуани» (I, 8) следующим образом: «Числа Цянь [6] составляют 216. Числа Кунь составляют 144. Вместе – 360, что соответствует дням года. Число этих двух частей составляет 11520, что соответствует числу всех/10 000 (вань [1]) вещей (у [3])». Здесь Цянь [6] и Кунь – это гексаграммы, состоящие соответственно целиком из шести сплошных и шести прерванных черт. При гадании каждая сплошная черта получается в том случае, когда стебли последовательно, в три этапа, подразделяются на 36 кучек по четыре, а прерванная – на 24 (см. Традиция предсказаний и «Канон перемен»). Отсюда, как справедливо пишет Чжэнь Луань: 6 х 36 = 216; 6 х 24 = 144; 216 + 144 = 360. Далее, количество всех черт в наборе 64-х гексаграмм равно: 64 х 6 = 384. Из них – 192 сплошные и 192 прерванные черты. Следует умножить эти числа на 36 и 24 и сложить то, что получилось: 192 х 36 = 6912; 192 х 24 = 4608; 6912 + 4608 = 11520. Это и будет «число всех/10 000 вещей».
 
Первый в традиционной китайской науке случай рассмотрения проблемы перестановок связан с именем танского буддийского монаха И-сина (683–727). Как об этом пишет Шэнь Ко в «Мэнси би тань», И-син пытался вычислить полное число возможных расположений фишек (цзы [3]) на доске «облавных шашек» (вэй ци [1]), игральное поле которой состоит из 19 поперечных и 19 продольных линий, образующих 361 пересечение. При этом под «расположением» (цзюй [8]) понимается наличие на неком пересечении белой или черной фишки либо ее отсутствие. Неизвестно, к каким выводам пришел И Син и какие дополнительные условия он при этом учитывал. Текст «Мэнси би тань» является единственным упоминанием данной задачи, которую Шэнь Ко пытался решить сам. По его мнению, это не сложно, но только для полученного числа невозможно подобрать общепринятого выражения. Он полагает, что если для начала взять пересечения всего двух рядов (2 х 2 = 4) и четыре шашки, то число возможных расположений будет 81, при пересечении трех рядов (3 х 3 = 57) и девяти шашках – 19683, и т.д. до седьмого ряда. Шэнь Ко, по сути, здесь рассматривает размещение с повторением из m элементов по n, которое вычисляется как mⁿ, где m = 3, n = r² при r = 2, 3...19. Так, при r = 5 он дает число 847288609443 = 3²⁵. Однако если взять семь рядов, то записать результат, говорит Шэнь Ко, оказывается уже затруднительным. Поэтому он только указывает, что в конце концов для всех пересечений (361) должно получиться число, приблизительное значение которого следовало бы записать в виде последовательности из 52-х иероглифов вань [1] (10000), что составляет порядок 10²⁰⁸. Тут он ошибся, поскольку 3³⁶¹ ≈1,74 х 10¹⁷². Если выразить это число с помощью иероглифов вань [1], то их должно быть 43, и остается только гадать, не вкралась ли в текст Шэнь Ко ошибка при переписке.
 
Особенности и мировое значение
 
Анализ традиционной китайской математики показывает, что она вполне сопоставима по достижениям с математикой других древних и средневековых восточных народов. Есть также некоторая аналогия между ней и математикой средневековой Европы. При этом китайская математика существенным образом отличается от древнегреческой математики и от того теоретического направления, которое последняя задала в арабо-мусульманской и европейской математике. Греческая математика, как демонстрируют «Начала» Евклида, была на более высоком уровне абстрактности и систематичности, чем китайская. Но главной отличительной чертой греческой математики, ее сильной стороной, было наличие идеи строгого доказательства. С другой стороны, греческая математика была слаба там, где математика Китая была сильна, а именно, в алгебре.
 
Теоретическая математика зародилась в VI в. до н.э. у пифагорейцев, которые первоначально рассматривали ее как религиозное средство самосовершенствования. С этимологической точки зрения выражение «теоретическая математика» является тавтологией, поскольку греки называли математикой (mathematike) науку о числах и геометрических фигурах, в которой есть доказательства, т.е. теоретическую науку (mathema). В результате ее формирования у греков появились разработки в обрасти теории чисел и произошло отделение математики от логистики (logistika – счетное искусство, техника счисления) – системы вычислительный приемов, применяемых для практических нужд.
 
У китайцев никогда не было собственной теоретической математики. Их традиционная математика занималась разработкой правил в виде алгоритмов, позволяющих автоматически получать решение за счет нескольких процедур, которые совершались с помощью счетной доски. Наиболее значимыми из таких алгоритмов были кай фан, фан чэн и тянь юань. Корректность сообщаемых правил при их формулировке не доказывалась, а сами они формулировались для частных случаев. Однако частные случаи, рассматриваемые в правилах, являлись общими в том смысле, что ими задавались общие схемы рассуждений. По сути дела, китайцы развивали не аксиоматическую, а конструктивную математику, в которой единообразный алгоритм заменяет аксиому. Было бы методологической ошибкой принимать за абсолютный эталон дедуктивное доказательство по типу греческого. Однако исторически оно сыграло важную роль в развитии математики. С другой стороны, вычислительно-алгоритмическое направление развития математики в Китае также имело большое значение для прогресса математики. Несмотря на «изоляию» Китая и различные социальные факторы, которые затрудняли передачу знаний, за период между III в. до н.э. и XIII в. н.э. из Китая были транслированы вовне многочисленные математические идеи. Долгое время влияние на китайскую математику извне было почти незаметным. Только начиная с XVII в. влияние Запада на Китай становится значимым.
 
Отсутствие теоретичности в традиционной китайской математике имело несколько причин. Среди них можно назвать социальные факторы, отсутствие формальной логики, преобладание ассоциативного (коррелятивного) мышления, особое понимание числа и проч.
 
Социальный статус математики в Китае был тесно связан с бюрократической правительственной системой. Она была посвящена задачам, которые должны были решать чиновники. Математика ради математики не имела права на существование. Возможно, необходимость решать прикладные задачи привязала китайских математиков к конкретному числу и мешала появлению абстрактных идей. Одно из главных применений в Китае математика находила при разработке календаря (ли [5]). По причинам, связанным с древними представлениями о космосе, учреждение календаря было ревниво охраняемой прерогативой императора. Когда в стране происходили восстания или свирепствовал голод, часто делался вывод, что причиной является несовершенство календаря. Поэтому придворным математикам поручалось исправить его.
 
То, что древнекитайские сочинения по математике, за некоторым исключением, не содержат теоретических разработок, было обусловлено и тем, что они задумывались как учебники, предназначенные для обучения чиновников, которым надо было решать практические задачи. Естественно, что таким читателям не было интересно изучать абстрактные теории. Однако, возможно, что среди математиков подобные теории обсуждались. Ведь правила, излагающиеся догматически в китайских математических трактатах, являются уже окончательным результатом изысканий, в ходе которых математики должны были прибегать к некоторым теоретическим соображениям.
 
Конечно, китайские математики не ограничивались только практическими задачами, а занимались и отвлеченными проблемами. Хотя их наука не ставила во главу угла дедуктивный метод, в ней имелись доказательства некоторых теорем. В китайской математике начиная с III в., со времени Лю Хуя и Чжао Цзюнь-цина, стала развиваться практика комментирования, в ходе которой были обоснованы правила решения некоторых задач. Эти обоснования были далеки от идеалов математической строгости, присущих древним грекам, и их нельзя назвать доказательствами в том смысле, как понималось доказательство в «Началах» Евклида. В них полностью отсутствует система аксиом, причем, задача ее разработки никогда и не ставилась. Однако, хотя аксиомы не формулировались, они, по сути, подразумевались в нестрогом виде. При этом ставилась цель не свести доказываемое утверждение к доказанным ранее, а привести его к некоему элементарному утверждению, которое могло быть признанным истинным. Решения геометрических задач часто объяснялись при помощи чертежей, проводимые в обоснованиях рассуждения иллюстрировались упрощенными примерами, не содержали доказательств промежуточных предложений и рассмотрения всех возможных случаев. Но, формулируясь для частных случаев, обоснования, как правило, бы-ли корректны и в общем случае. По сути дела, эти обоснования представляют собой обобщенные дедуктивные процедуры, но оформленные на частных примерах.
 
Особенности китайской математики во многом обусловлены представлениями о числе, возникшими в доциньское время и в той или иной степени поддерживавшимиеся там на всех этапах развития традиционной культуры. Эти представления, в свою очередь, определялись характером и условиями своего формирования. Искусство счета в древней Греции развилось не автохтонно, а было заимствовано у финикийцев вместе с письменностью. Эта инородность знаний о числе привела, вероятно, к пониманию его греками как чего-то выходящего за пределы обыденного и стоящего над чувственной реальностью. Философией числа в древней Греции первыми стали заниматься пифагорейцы. Пифагор проповедовал учение, усвоенное им, по всей видимости, где-то вне Греции. Ореол таинственности и мистицизма, который стал окружать это учение, еще больше приподнял число над миром, воспринимаемым чувствами, придав пониманию числа специфическую абстрагированность от вещей. Китайцы развили философию числа автохтонно, и у них не было никаких причин для удвоения мира. Числа в китайском мировоззрении предстают как некая творческая сила, приводящая к расчленению всякой непрерывности. Они являются одной из важнейших характеристик бытия, элементами космического кода, с помощью которого оформляются и организуются все мировые реалии. При этом числа не отделяются от вещей. С натуралистических позиций, на которых выстраивалась древнекитайская наука, существующего вне вещей (и процессов) числа нет. Таким образом, если у китайцев числа – всего лишь атрибуты вещей, выражение одной из их характеристик, то у греков числа – это не атрибуты вещей и не сами вещи, а основа вещей, их субстанция, понимаемая как нечто образцовое и неизменное.
 
Образцовой и неизменной субстанции китайцы не знали. В их картине мира на всех уровнях бытия доминировала изменчивость. Поэтому и числа – изменчивы. Можно предположить, что именно отсюда происходит отсутствие в китайской математике аксиоматики, на место которой встал алгоритмический подход. Поскольку алгоритм является, по сути, предписанием работы некой условной или реальной вычислительной машины, машины по преобразованию подаваемых на вход данных в получаемый на выходе результат (в Китае материальным выражением такого устройства была счетная доска), то можно полагать, что в алгоритмической процедуре совершается превращение чисел. Использование китайцами алгоритмических процедур моделировало превращения вещей, понимаемых как доли единого космоса, характеризуемых числами и находящихся в тех или иных структурно-динамических отношениях. Так как числа китайцами не мыслились, как у греков, в качестве субстанции, то у них не было никаких предубеждений в принятии отрицательных чисел. Для китайцев последние – это всего лишь «долг». Если же считать числа субстанцией, то их отрицательность просто невозможна. В китайских космологических моделях космос рассматривался как некая единичность, которая подразделяется на множество частей. Как и китайцы, греки соотносили единицу с целостным космосом. Поэтому они также могли мыслить числа в качестве результата деления первичной единицы. Но более значимым для них было понимание единицы как элемента, из которого числа складываются. В таком случае, единица – не число, а некий математический атом. Космос и числовой мир греков – дискретны.
 
Так как числа у китайцев не являлись агрегатами монад, то у них не возникло проблемы иррациональных чисел, подобной той, что вызвала кризис в ранней греческой математике. Китайцы, похоже, просто не замечали иррациональности. Поскольку числа у греков состоят из элементов-единиц, они имеют структуру, которая в пространственном отношении выражается как форма. Более того, первоначально греки мыслили числа не просто имеющими форму, а телесными, и только у Платона они стали пониматься как чистые формы. Связанность числа и формы у греков привела к тому, что среди математических дисциплин они развивали в большей степени геометрию. Китайцы никогда не мыслили число в категории формы. В пространственно-временном континууме они делали акцент на времени, а поэтому их интересовали больше не формы, а процессы изменений, что выразилось в преобладании в традиционной китайской математике алгебраических и, как уже говорилось, алгоритмических методов. Благодаря этим и другим своим особенностям, традиционная китайская математика занимает достойное и значимое место в истории мировой математики, дополняя и обогащая ее своим уникальным и оригинальным опытом.
 
Источники:
Суань цзин ши шу (Десять книг счетного канона) / Под ред. Цянь Бао-цуна. Пекин, 1963; Математика в девяти книгах / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. 10. С. 427–584; Сунь-цзы. Математический трактат Сунь-цзы / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Из истории науки и техники в странах Востока: Сборник статей. М., 1963. Вып. 3. С. 22–70; Чжан Цюцзянь. Математический трактат Чжан Цюцзяня / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Физико-математические науки в странах Востока: Сборник статей и публикаций. М., 1969. Вып. 2 (5). С. 18–81; Математический трактат пяти ведомств / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Физико-математические науки в странах Востока: Сборник статей и публикаций. М., 1969. Вып. 2 (5). С. 82–97; Лю Хуй. Две задачи из «Математики в девяти книгах» и комментарий к ним с вычислением числа «пи» / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1974. Вып. 19. С. 253–273; он же. Математический трактат о морском острове / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1974. Вып. 19. С. 231–252; Ван Сяотун. Математический трактат о продолжении древних [методов] / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1975. Вып. 20. С. 329–371.
 
Литература:
Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М., 1980; Волков А.К. Трактовка китайской математики Дж. Нидэмом и его критиками (обзор) // Современные историко-научные исследования: Наука в традиционном Китае. М., 1987. С. 106–127; Гуань Чжаочжи. О математике в древнем Китае // «Народный Китай». 1956. № 15. С. 29–31; Еремеев В.Е. Традиционная китайская математика: Краткая история и основные идеи // «История науки и техники». 2005. № 9. С. 28–38; он же. Число в древнекитайской космологии // XII Всероссийская научная конференция “Философии восточно-азиатского региона (Китай, Япония, Корея) и современная цивилизация”. М., 2007. С. 109–114; Жаров В.К. Об истории операции полагания (присваивания) в древней и средневековой китайской математике // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических сис-тем. М., 2000. Вып. 3. С. 248–255; он же. О «Введении» к трактату Чжу Шицзе «Суань сюе ци мэн» // Историко-математические исследования. М., 2001. Вторая серия, вып. 6 (41). С. 347–353; он же. О двух задачах трактата «Девять книг по математике» Цинь Цзю-шао // Историко-математические исследования. М., 1986. Вып. XXX. С. 338–343; Юшкевич А.П. Исследования по истории математики в древнем Китае // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1982. № 3. С. 125–136; Юшкевич А.П. О достижениях китайских ученых в области математики // Из истории науки и техники Китая. М., 1955, с. 130–159; Ли Янь. Чжунго гудай шусюэ цзяньши (Краткая история древнекитайской математики). Т. 1–2. Пекин, 1963–1964.; Ли Янь. Чжунго гудай шусюэ шиляо (Материалы по истории древнекитайской математики). Шанхай, 1954; Ли Янь. Чжунго суаньсюэ ши (История китайской математики). Шанхай, 1955; Цянь Бао-цун. Чжунго шусюэ ши (История китайской математики). Пекин, 1964; Чжунго шусюэ ши (История китайской математики). Пекин, 1964; Li Yan, Du Shiran. Chinese Mathematics: A Concise History / Tr. by J. N. Crossley and A. W. C. Lun. Oxford, 1987; Martzloff J.-C. A History of Chinese Mathematics. Berlin-Heidelberg, 1997; Mikami Y. The Development of Mathematics in China and Japan. N. Y., 1974; Needham J. Mathematics and Science in China and the West. Science and society. N. Y., 1956; Needham J. Science and Civilisation in China. Cambridge. Vol. 3. 1959; Needham J. The Social Posi-tion of Scientific Men and Physicians in Medieval China // XIVth International Congress of the History of Science. Proc. № 4, Tokyo; Kyoto. 1974. Tokyo, 1975, p. 19–34; Reiffler E. The Philological and Mathematical Problems of the Wang Mang's Standard Grain Measures. 1965; Wang Ling, Needham J. Horner's Method in Chinese Mathematics; Its Origins in the Root-Extraction Procedures of the Han Dynasty // T’oung Pao, 1955, № 43, p. 345–401; Wang Ling. The Decimal Place-Value System in the Notation of Numbers in China // Com¬munication to the XXIIIrd International Congress of Orientalists. Cambridge, 1954.
 
Автор: В.Е. Еремеев
 
Источники:
Зинин С.В. Некоторые проблемы китайской аритмологии // XVI НКОГК. М., 1985. Ч. 1, с. 151–155; он же. Позднеханьская космологическая схематика // История и культура Восточной и Юго-Востояной Азии. М., 1986. Ч. 1, с. 84–93; Сыма Цянь. Исторические записки (Ши цзи) / Пер. Р.В. Вяткина. Т. IV. М., 1986; Древнекитайская философия. Эпоха Хань. М., 1990; Чжу Шицзе. «Разъяснение темных мест в математике» / Пер. и коммент. В.К. Жарова // Математика и практика; Математика и культура. М., 2000, с. 193–196; «Трактат о гномоне» / Пер. фрагментов Яо Фана // Математика и практика; Математика и культура. М., 2003. № 3, с. 72–75; Философы из Хуайнани (Хуайнаньцзы) / Пер. Л.Е. Померанцевой. М., 2004; Gillon B.S. Introduction, Translation and Discussion of Chao Chün-ch`ing`s «Notes to the Diagrams of Short Legs and Long Legs and of Squares and Circles» // Historia Mathematica. Toronto, N.Y., 1977. Vol. 4, № 3, p. 253–293; Hée L. van. The Arithmetic Classic of Hsia-Hou Yang // Amer. Math. Mon. 1924, 31, p. 235–237; Id. Le Classique de l`île maritime, ouvrage chinois du III siecle // Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. 1933, Abt. B, Bd 2, S. 255–280; Chiu Chang Suan Shu. Neun Bücher Arithmeticher Technik / Üb. und erläutert von K.Vogel. Braunschweig, 1968; Libbrecht U. Chinese Mathematics in the Thirteenth Century. The Shu-shu chiu-chang of Ch’in Chiu-shao. Cambridge, 1973; Lam Lay Yong. A Critical Study of the Yang Hui Suan Fa, 13th Century Chinese Mathematical Treatise. Singapore, 1977; Cullen C. Astronomy and Mathematics in Ancient China: The “Zhou Bi Suan Jing”, Cambridge, 2007.
 
Литература:
Волков А.К. Доказательство в древнекитайской математике // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985, с. 200–206; он же. Вычисления площадей в древнем Китае // Историко-математические исследования. М., 1985. Вып. 29, с. 28–43; он же. Предварительные результаты количественного анализа древнекитайских эталонных сосудов // XVI НКОГК. М., 1985. Ч. 1, с. 145–150; он же. О геометрическом происхождении древнекитайского метода извлечения квадратных и кубических корней // История и культура восточной и Юго-Восточной Азии. М., 1986. Ч. 1, с. 172–192; он же. О названии одного древнекитайского математического трактата // История и культура Восточной и Юго-Восточной Азии. М., 1986. Ч. 1, с. 193–199; он же. О структуре математического трактата «Хай дао суань цзин» // XVII НКОГК. М., 1986. Ч. 1, с. 82–85; он же. Трактовка китайской математики Дж. Нидэмом и его критиками // Современные историко-научные исследования: наука в традиционном Китае / Сост. А.И. Кобзев. М., 1986, с. 106–127; он же. О методе аналогии в древнекитайской математике // XVIII НКОГК. М., 1987. Ч. 1, с. 113–117; он же. Об инфинитезимальном методе вычисления объема пирамиды в древнем Китае // XIX НКОГК. М., 1988. Ч. 1, с. 143–146; Жаров В.К. Развитие методов преподавания традиционной китайской математики. М., 2002; Зинин С.В. Космос и человек в китайской культуре: звезда «Тай и» и восемь ветров «ба фэн» // ХХIV НКОГК. М., 1993. Ч. 1, с. 117–121; Карапетьянц А.М. Древнекитайская системология и математика // XII НКОГК. М., 1981. Ч. 1, с. 58–72; он же. Понятийный аппарат доханьской геометрии и математики // XVIII НКОГК. М., 1987. Ч. 1, с. 106–113; Кобзев А.И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М., 1994; Маракуев А.В. История развития математики в Китае, а также в Японии // Отчет о деятельности математической конференции за январь – декабрь. [Владивосток], 1930, с. 47–60; Симаков М.Ю. Пифагорейская математика и древнекитайская философия // ХХIV НКОГК. М., 1993. Ч. 1, с. 109–112; он же. Восточная философия и современная наука. М., 2004, с. 33–56; Спирин В.С. Примеры сравнительно простого значения «дао» // IX НКОГК. М., 1978. Ч. 1, с. 85–91; он же. Геометрический образ «правильного поведения» (ли) в «Сюнь-цзы» // ППиПИКНВ. XIV. М., 1979. Ч. 1, с. 150–157; он же. Геометрические образы в древнекитайской философии // Актуальные проблемы философской общественной мысли зарубежного Востока. Душанбе, 1983, с. 189–197; Слово «хоу» (толщина) в идеологии древнего Китая; «Любовь» и математика в «Мо-цзы» // Письменные памятники и проблемы истории культуры народов Востока. X. М., 1974, с. 36–44; Го Цзинь-бинь, Кун Го-пин. Чжунго чуаньтун шусюэ сысян ши (История китайской традиционной математической мысли). Пекин, 2005; Дун Гуан-би. И ту ды шусюэ цзегоу (Математические структуры схем «[Канона] перемен»). Шанхай, 1987; Цянь Бао-цун кэсюэ ши луньвэнь сюаньцзи (Избранные статьи по истории науки Цянь Бао-цуна). Пекин, 1983; Чжунго да байкэ цюань-шу. Шусюэ (Большая китайская энциклопедия. Математика) / Гл. ред. Хуа Ло-гэн, Су Бу-цин. Пекин, 1988; Chemla K. Algebraic Equations East and West until the Middle Ages // EAS. Osaka, 1995, p. 83–89; Hée L. van. Le zéro en China // T`oung Pao, 1914, 15, p. 181–192; Ho Peng-Yoke. The Lost Problems of the Chang Ch`iu-chien Soan Ching, a Fifth-Century Chinese Mathematical Manuel // Oriens Extremus, 1965, 2, p. 37–53; Hoe J. Les systèmes d`equations polinômes dans le “Si Yuan Yu Jing” (1303). P., 1977; Kong Guoping. Ceyan Haijing: A Constructive System of Mathemetics // EAS, p. 461–468; Lin Dun. The Triumph of Utilitarian Mathematics // EAS, p. 457–460; Lam Lay Yong, Ang Tian Se. Fleeting Footsteps. Tracing the Concept of Mathematics and Algebra in Ancient China. Singapore, 1992; Sivin N. Cosmos and Computation in Early Chinese Mathematical Astronomy. Leiden, 1969; Struik D.J. On Ancient Chinese Mathematics // Euklides, 1965/65, 40, p. 65–79; Swetz F.J., Kao T.I. Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Anciemt China. Univ. Park, L., 1977; Wagner D.B. An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid: Liu Hui, Third Century A.D. // Historia Mathematica. Toronto, N.Y., 1979, Vol. 6, № 2, p. 164–188; Id. Liu Hui and Tsu Keng-chih on the Volume of a Sphere // Chin. Science. Philadelphia, 1978, Vol. 3, p. 59–79.
 
Сост. библ.: Кобзев А.И.
 
Ст. опубл.: Духовная культура Китая : энциклопедия : в 5 т. / гл. ред. М.Л. Титаренко; Ин-т Дальнего Востока. — М. : Вост. лит., 2006–. Т. 5. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование / ред. М.Л. Титаренко и др. — 2009. — 1055 с. С. 52-95.