Обобщение как сокращение

 
 
Для древнекитайской аргументации очень важна категория «род, класс, целое» (類 лэй), сообщающая необходимую общность дискурсу. В этой связи основным требованием являлось умение по предъявленной части восстановить целое и, соответственно, неспособность сделать это («незнание рода» – бу чжи лэй) расценивалась китайскими мыслителями как типичная методологическая погрешность. Так, например, прославленная педагогическая максима Конфуция (551–479 гг. до н.э.) гласит: «Не возвращайся [с наставлениями к тому, кто] по предъявлении [ему] одного угла [не сможет] в ответ [назвать] три [оставшихся] угла» [6, с. 139]. Согласно классическому комментарию ханьского Чжэн Сюаня (127–200), речь здесь идет о тех, кто «не разумеет [всего] рода» обсуждаемых предметов [6, с.  139].
 
Более причудливый, нематематический пример «незнания рода» находим у Мэн-цзы (ок. 372–289 гг. до н.э.): «Вот у [человека] согнут и не разгибается безымянный палец, что не причиняет ему ни боли, ни неудобства. Но если бы нашелся некто могущий разогнуть его, то [недужный] не счел бы далеким путь из Цинь в Чу только ради того, что у него безымянный палец не такой, как у других. Когда у человека палец не такой, как у людей, так он умеет чувствовать недовольство, а когда у него сердце не такое, как у других, так он не умеет чувствовать его. Это называется „незнанием рода“» [8, с. 464]. Пафос притчи в акцентировании, казалось бы, очевидной, но зачастую неосознаваемой («незнание рода»!) нераздельной целостности человеческой личности, частями которой являются и малозначительный безымянный палец, и наиважнейшее сердце (мы бы сказали – «душа»).
 
Поскольку одна и та же вещь вполне может оказаться частью различных целостностей, постольку более предпочтительно умение опознать бóльшую из них, подразумеваемую этой их общей частью. На этот счет в Конфуциевых «Беседах и суждениях» имеется следующий примечательный диалог: «Обращаясь к Цзы-гуну, Учитель спросил: “[Из вас двоих] кто кого превосходит, ты или Хуэй?“ Цзы-гун ответил: „Разве я, Сы, посмею сравнивать себя с Хуэем? Если Хуэй, услышав об одном, знает о десяти, то я, Сы, услышав об одном, знаю [всего лишь] о втором“. Учитель сказал: „Я согласен с тобой. Ты не можешь сравниться [с ним]“» [7, с. 116].
 
Часть, возводящая к целому, может выделяться и намеренно. Так, Сюнь-цзы (ок. 335–238 гг. до н.э.) дает сравнительно развернутое изложение своеобразной «экономии» познания: «Сердце [благородного мужа] мало, но [его] Дао велико: видит и слышит [лишь] ближайшее [к нему], но осведомлен и воспринимает отдаленнейшее [от него]. Каким образом это [происходит]? Таков [результат применения] техники схватывания. Поэтому чем теснее (約 юэ) хватка, тем грандиозней свершения. Пятивершковый угольник исчерпывает квадраты Поднебесной, поэтому благородный муж не спускается из опочивальни и кабинета, а между тем все обстоятельства, [имеющие быть] среди [четырех] морей, концентрируются там [у него]. Таков [результат применения] техники схватывания» [9, цз. 2, с. 120].
 
В отличие от привычных нам (по отечественным и западным переводам и толкованиям подобных пассажей вроде прославленных слов Лао-цзы относительно возможности «не выходя со двора, знать Поднебесную») туманно-мистических истолкований, традиционный комментарий вполне прозаично растолковывает фразу о пятивершковом угольнике ссылкой на «метод меньшего и большего катетов и извлечение квадратного корня», т.е. отсылкой к теореме Пифагора. Как видим, у Сюнь-цзы часть – конкретная тройка пифагоровых чисел (а именно 3, 4, 5), представленная своей третьей компонентой (т.е. числом «пять»), – указывает на целое («метод большего и меньшего катетов», иначе говоря, множество всех целочисленных прямоугольных треугольников, т.е. пифагоровых треугольников). Таким образом, пифагоровы числа 3, 4 и 5 представляют все целочисленные пифагоровы тройки; другими словами, египетский треугольник представительствует за все пифагоровы треугольники. Намек на причины, по которым это может происходить, содержится в слове «утеснение–сокращение» (約 юэ), совершенно не случайно присутствующем в вышеприведенной цитате из Сюнь-цзы. Дело в том, что данное слово имеет специально-математическое значение сокращения дробей (約 分 юэ фэнь). Вот, например, как трактует данный термин прославленный своими комментариями к древнекитайскому математическому девятикнижию Лю Хуэй (ок. III в.): «[Что касается] сокращения дробей, [то, когда] численность или размеры вещей нельзя узнать целиком, [тогда] приходится прибегать к дробям (букв.: „частям, долям“), чтобы говорить о них. Дробь же является таким числом, которым трудно пользоваться, если оно усложнено. Предположим, что имеется [дробь] две четвертых. [Если] говорить о ее усложненном [варианте, то] она также может быть представлена в виде четырех восьмых. [Если же] говорить о ее сокращенной [версии, то это будет] одна вторая. Хотя формулировки различны, но как числа [все они] сводятся к одному и тому же [числу]» [11, цз. 1, с. 94]. Об осознании китайскими математиками древности основного свойства дробей см. [1, с. 130–132].
 
Как известно, рациональные числа – это классы эквивалентности, а та или иная конкретная дробь из любого такого класса является представителем такого содержащего ее бесконечного класса. Наоборот, всякий такой класс характеризуется любой из принадлежащих ему дробей. Принято отождествлять рациональное число с наименьшей, т.е. несократимой дробью из соответствующего класса эквивалентности. Ее получают сокращением какой-либо дроби данного класса на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Эта операция сокращения на наибольший общий делитель и терминологизируется иероглифом 約. Простейшая пифагорова тройка – 3, 4 и 5 –  на первый взгляд могла бы мыслиться Сюнь-цзы в качестве представителя всего бесконечного класса непосредственно производных от нее пифагоровых троек. Пример такой производности засвидетельствован следующим комментарием Чжао Шуана (ок. III в.) на самый ранний китайский математико-астрономический трактат «Счетный канон о чжоуском гномоне» (ок. I в. до н. э.): «„Подождать, пока длина его тени вырастет до шести локтей“, [означает следующее:] чтобы меньший и больший катеты взаимооткликались, [треугольник, в котором] меньший катет равен 3, больший катет равен 4 и гипотенуза равна 5, [должен перейти в треугольник, в котором] меньший катет равен 6, больший – 8, а гипотенуза – 10» [12, цз. 1, с. 26].
 
Однако далеко не все пифагоровы тройки непосредственно производны от чисел египетского треугольника в указанном выше смысле (как, например, числа 5, 12 и 13, также образующие пифагорову тройку). Тогда на каком же основании нами утверждается сводимость целого к его, по-видимому не столь уж и представительной, части?
 
Заметим, что одним из следствий малой теоремы Ферма (а^р≣а (mod p), где p – простое число и a – целое число, не делящееся на p) является следующая замечательная теорема: произведение длин сторон пифагорова треугольника делится на 60. Другими словами, все пифагоровы треугольники сравнимы с нулем по модулю 60 и египетский треугольник будет среди них наименьшим! Точнее, множество произведений трех компонент каждой из целочисленных пифагоровых троек образует множество кратных числа 60, а произведение тройки, четверки и пятерки есть наименьший элемент этого множества. Получается, что благодаря удачно выбранному модулю сравнения ситуация с пифагоровыми треугольниками оказывается полностью аналогичной положению с рациональными числами, описанному выше. Вот так конкретная пифагорова тройка 3, 4, 5 получает возможность представительствовать за все целочисленные пифагоровы тройки.
 
Стоит подчеркнуть осознанность связи простейшей пифагоровой тройки с числом 60. Дело в том, что китайский 60-ричный календарный цикл – так называемый цзяцзы (甲子) – представляет собой древнейшую систему фиксации времени с непрерывной историей. Цзя обозначает 10 небесных стволов (цзя, и, бин, дин, у, цзи, гэн, синь, жэнь, гуй), а цзы – 12 земных ветвей (цзы, чоу, инь, мао, чэнь, сы, у, вэй, шэнь, ю, сюй, хай). Четные номера первого набора циклических знаков всевозможными способами сочетаются в пары с четными номерами второго набора, аналогичный процесс осуществляется и для нечетных номеров обоих наборов. В результате получаем 60 различных пар – это и есть цзяцзы, в котором 60-ричный цикл именуется по его первой компоненте. Другими словами, 60 есть наименьшее общее кратное 10 и 12. Кроме того, 60 является составной частью принятого в Китае округленного до десятков числа дней в году (360 дней), его производных и других важных календарных единиц (напр., юань 元 – эра, эпоха). Поэтому привязка числа 60 к пифагоровой тройке 3, 4, 5 обычно проявляется в виде календарно-астрономических ассоциаций, сопутствующих этой пифагоровой тройке.
 
Здесь для начала заметим, что самое раннее из известных китайских доказательств теоремы Пифагора (для частного случая египетского треугольника) открывает древнейший математико-астрономический трактат «Счетный канон о чжоуском гномоне», причем 3, 4 и 5 появляются там как раз при обсуждении вопроса происхождения календарных чисел. Примечательно, что ответом на этот вопрос является утверждение о происхождении «метода» (法 фа) этих чисел из круга (т. е. округленной длины единичной окружности, равной трем) и квадрата (длины периметра единичного квадрата, равной четырем). В своем комментарии на разбираемое место «Чжоуского гномона» Чжао Шуан достаточно прозрачно говорит о приведении к наименьшему общему кратному тройки, четверки и  пятерки, что дает число 60.
 
Наконец, в китайской традиционной и более современной историографии имеются прямые указания на связь календаря с «методом меньшего и большего катетов» [5, с. 2207; 10, с. 845].   
 
Итак, согласно «Чжоускому гномону» и комментариям к нему Чжао Шуана число 60 является, с одной стороны, начатком пифагоровых треугольников, а с другой – родоначальником основных календарных чисел.
 
Согласно классическому определению Мэн-цзы: «Когда, говоря о близком, намекают на далекое – это искусная речь; [способ, при котором] соблюдена краткость (約 юэ), а действие его обширно, – это искусный способ» [8, с. 594]. Поскольку сокращение всего множества пифагоровых треугольников до единственного (египетский треугольник) несомненно является примером такого «искусного способа», постольку древнекитайским мыслителям казалось достаточным в своих теоретических построениях оперировать лишь с этой избранной пифагоровой тройкой. Вот почему, как в изначальном китайском доказательстве теоремы Пифагора для частного случая египетского треугольника [12, цз. 1, с. 14], так и в выведении тождества 3² + 4² = 5² из гексаграммы № 11 Тай (см. подробнее [3, с. 142]) речь идет не просто о частном случае, а, учитывая вышесказанное, о доказательстве теоремы Пифагора в полном объеме, т.е. во всей общности. В том, что китайские математики древности здесь не заблуждались, мы легко убеждаемся из существующих реконструкций вышеупомянутого доказательства (см., напр., [13, с. 26–27]). По словам крупнейшего современного историка математики Ван дер Вардена, «доказательство (теоремы Пифагора в „Чжоуском гномоне“ – А.К.) осуществлено только для треугольника (3, 4, 5), но идея доказательства обладает полной общностью» [13, с. 26].
 
Думается, что математическим соображением, лежащим в основе метода сокращения, является идея рекурсии – «возвращения» от неизвестного к известному. Иными словами,  возможность восстановления всего искомого рода (разумеется, в той мере, в которой это требуется в каждом данном случае) по предъявленной  произвольной части этого рода мыслится как способность вернуться от искомого целого (или искомой его части) к предъявленной части, наводя тем самым мосты от известного к неизвестному.
 
Соответственно, «незнание рода» следует понимать как неспособность связать друг с другом две по видимости несхожие между собой вещи, неумение усмотреть связывающую их взаимозависимость (см. приведенный в начале пример Мэн-цзы с пальцем и сердцем). Соответственно, восхождение от данной части к целому (или к другим частям этого целого) эксплицируется как «достраивание» известной части, согласно некоему правилу, до целого (или же до иных – более обширных – фрагментов целого). Примерами такого рода являются приведенные в начале нашего сообщения «геометрические» и «арифметические» притчи из «Бесед и суждений» Конфуция об углах четырехугольника, о первом и о втором, и об одном и десяти.
 
Искусство сокращения как раз и сводится к умению минимизировать масштаб задачи, к выбору наименьшей, но при этом достаточной для восстановления целого, части этого целого. Причем обычно дается лишь результат подобного сокращения – минимальная часть (вроде одного угла четырехугольника), в свернутом виде содержащая целое без явного указания правила перехода от нее к другим частям. Возможно, подобные правила являлись принадлежностью устной традиции.
 
Вышесказанное проливает дополнительный свет на тайну древнекитайского математического девятикнижия Цзю чжан суань шу (III в. до н. э. – I в. н.э.) как теоретического обоснования древнекитайской математики, а не просто тематического сборника задач с ответами. По мнению современных китайских историков науки, главная особенность древнекитайских научных теорий состоит в их модельном (а не аксиоматическом, как на Западе) характере. Поэтому их отличает алгоритмичность–вычислительность и алгебраичность в противоположность доказательности и геометричности классической греческой науки (см., напр., [4, с. 1–4]).
 
В отношении общности выстраивается иерархия возможных реализаций (т. е. конкретных математических структур, а не предложений языка некоторой теории), где общее выражается одной из этих структур, а вовсе не предложением с квантором всеобщности (аксиомой). Так  по видимости конкретные и утилитарные задачи из «Математики в девяти разделах» замышлялись их авторами и толкователями как простейшие реализации некоторых важных алгоритмов. В их группировке прослеживается отчетливая типизация вычислительных задач. По утверждению Э.И. Березкиной, «если автор имеет целью показать класс задач, он сначала приводит самую четкую, простую, „каноническую“, а затем по мере усложнения демонстрирует, насколько широк такой класс задач; затем дает алгоритм сведения других к уже решенным, расширяя таким образом указанный класс задач. Именно так построена вся „Математика в девяти книгах“…» [1, с. 24]. Ей вторит А.К. Волков, замечая по поводу манеры Лю Хуэя рассматривать лишь отдельные частные случаи решения той или иной задачи (вместо обсуждения решения в общем виде), что на самом деле «рассматриваемый случай является в некотором смысле общим, поскольку им фактически задается схема рассуждений или необходимое дополнительное построение» [2, с. 102].
 
О том, что соотношение общего и частного применительно к задачам из «девяти разделов» и их всевозможных модификаций–приложений является лишь вопросом выбора нужного масштаба, писал Лю Хуэй. Примечательно, что его пояснения испещрены клише из теории сокращения, с некоторыми из которых мы уже встречались, например: «по предъявлении одного угла называть в ответ три оставшихся» [11, цз. 2, с. 114].
 
Литература
1. Березкина Э.И. Математика древнего Китая. 1980.
2. Волков А.К. О доказательстве в древнекитайской математике.  — XV НКОГК. М., 1984. Ч. 1.
3. Крушинский А.А. Логика «И цзина»: дедукция  в древнем Китае. М., 1999.
4. Дун Гуанби. Кэсюе юй чжунго чуаньтун вэньхуа: сы да наньти ды сыкао («Наука и китайская традиционная культура: размышления о четырех трудных вопросах»). – Исюе юй  кэсюе (Ицзинистика и наука), Пекин, 1998, № 2.
5. Ли Гуанди. «Цимэн» фулунь (Дополнения к «Введению [в ицзинистику]»). ─ Исюе цзинхуа (Лучшее в ицзинистике). Т. 3. Пекин, 1996.
6. Конфуций. Лунь юй (Беседы и суждения). – Чжу цзы цзи чэн. Т. 1. Пекин, 1988.
7.  Классическое конфуцианство. В 2-х т. Т. 1. Конфуций. Лунь Юй. Вступит.ст., коммент., пер. А.С.Мартынов. М., 2000.
8. Мэн-цзы (Учитель Мэн). ─  Чжу цзы цзи чэн. Т. 1. Пекин, 1988.
9. Сюнь-цзы. «Сюнь-цзы» цзицзе (Собрание разъяснений [трактата] «Сюнь-цзы»). – Чжу цзы цзи чэн. Т. 2 Пекин, 1988.
10. Хан Синьчжай. И шу оудэ (Случайные находки в [области] ицзиновских чисел), цз. 1. Госюе цзи яо. Сб. 1, вып. 4. В 2 томах, Т. 2. Тайбэй, 1968.
11.  Цзю чжан суань шу (Математика в девяти книгах) – Суань цзин ши шу. Цянь Баоцзун цзяо дянь (Счетные каноны в 10 книгах. Критический текст Цянь
Баоцзуна). Т. 1. Пекин, 1963.
12.  Чжоу би суань цзин (Счетный канон о чжоуском гномоне) — Суань цзин ши шу. Цянь Баоцзун цзяо дянь (Счетные каноны в 10 книгах. Критический текст Цянь Баоцзуна). Т. 1. Пекин, 1963.
13.  van der Waerden B.L.. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin–Heidelberg–New York, 1983.
 
Ст. опубл.: Общество и государство в Китае: XXXII научная конференция / Ин-т востоковедения; Сост. и отв. ред. Н.П. Свистунова. – М.: Вост. лит.,  2002. – 366 с. С. 174-179.